描述流体运动的“玲珑塔”

以下文章来源于LBM与流体力学 ，作者卢比与钢蛋

喜欢相声的朋友都知道，有一段著名的贯口叫《玲珑塔》，说的是一位老僧有八位徒弟犯了错，被罚到后院去数玲珑塔，谁要是数过来谁就是大师兄，谁要是数不过来，便叫他罚跪到天明。玲珑塔的每一层都有不同的景致，而如果将描述流体运动的方程比喻为玲珑塔，每一层又该是什么样的风景呢？

这一切，都要从分子动理学理论 (Kinetic Theory) 说起......

动理学理论研究大量的原子或分子的运动，考虑分子与分子间、分子与壁面间频繁的碰撞，以及分子间的相互作用力，最终获取流体的宏观特性，例如体积、压力和温度；以及其传输特性，例如粘度、导热率和质量扩散率。

而如何描述物理系统的状态至关重要。这里的“状态”理论上包含了分子运动的所有信息，如位置、运动方式等。信息越充分，意味着对此物理系统的描述越精确。

换句话说，我们可以通过各种信息描述物理系统，并建立相应的控制方程。而有趣的是，不同的信息存在层级的差异，根据不同层级的信息将构建不同的控制方程。一旦确定初始值，该层级的控制方程将确定状态变量在时间上的变化。

关于流体运动最详细的描述，当然是指定所有分子的位置和速度的瞬时值。比如，对于由N 个分子组成的物理系统，每个分子具有S 个自由度，引入广义的坐标qⁱ_j 和动量pⁱ_j(i =1, 2 ... N; j= 1, 2 … S)，则系统的研究空间可以看作一个2*N维的空间。考虑三维笛卡尔坐标系，则一共为2*3*N 即6N维的空间，称之为相空间，在此层级控制系统的方程式即为哈密顿正则方程式。1833年，哈密顿在拉格朗日的研究的基础上，建立了哈密顿力学系统，在微观层级重新表述了牛顿经典力学。

理论上，一旦已知初始值，便可将分子的坐标p 和动量q 确定为时间的函数。而任何物理性质都可以用某个相函数ϕ(p,q) 来表示。通常人们把p 和q 统称为分子的状态P，相函数也可以表示为ϕ(P)。

可以看出，如果我们能够明确系统中每个分子的确切位置和速度，便可以通过哈密顿方程确定流体系统的任何物理量。“理想很丰满，而现实却很骨感”，事实上，流体系统中的分子数过多，使得通过哈密顿方程描述流体运动几乎是不可能完成的任务。另外，哈密顿方法的另一个缺点是该描述是离散的而非连续的。

我们不禁推开了玲珑塔第二层的大门，法国数学家刘维 (Liouville) 和美国物理学家吉布斯 (Gibbs) 想到了一种简化的方法，通过引入系统处于状态P 的概率W(P,t)，即分布函数，将动理学理论的研究带入了统计力学的大门。

分布函数W 满足刘维方程，该方程描述了相空间分布函数的时间演化。事实上，吉布斯首先认识到该方程对统计力学的重要意义，不过其推导过程中使用了刘维率先导出的等式，因此人们仍将其称为刘维方程。

当给定初始值W(P,0) 时，刘维方程用于确定在t 时刻的概率分布W(P,t)。而某一特定物理属性的值将由相函数ϕ(P) 给出，也即其期望值ʃW(P,t)ϕ(P)dP。

刘维方程使用的分布函数，看似抛弃了哈密顿方程对所有分子的精确描述。不过由于分子的确切位置是不可知的，分布函数也无从得知，因此这种简化并没有实现对物理问题的粗粒化。

刘维在玲珑塔的第二层引入了分布函数，我们熟知的玻尔兹曼方程似乎要呼之欲出了。不过在玻尔兹曼方程与刘维方程之间，还有一道不小的沟壑需要弥补。而这个沟壑便藏在玲珑塔的第三层，这些工作由不同国家的几位学者分别完成，即博格柳波夫 (Nikolay Bogolyubov)，伯恩 (Max Born)，格林 (Herbert S.Green)，柯克伍德 (John Gamble Kirkwood) 和伊冯 (Jacques Yvon)，简称BBGKY。

如同其名字的特点，BBGKY也不是单一的方程，而是一个方程链。简而言之，对于N 个粒子的分布函数，取其前n 个，应用刘维定理，并将后N-n 个应用广义坐标积分，可得到此方程链。最终的结果为：在BBGKY链中，每n 个粒子对应的方程，与n 1个粒子构成的方程相耦合。

对于固定数量粒子的系统，BBGKY方程由有限链组成，并且等效于刘维方程。BBGKY方程链可以从同一角度描述平衡状态和非平衡状态。非平衡态的特征是针对该方程链初始值问题的结果，相应地，平衡态的特征也表述为稳定的BBGKY方程链的结果。

相信大家看到这儿已经有点蒙圈了，那我们就快点爬到玲珑塔的第四层看一看吧。

经历了让人蒙圈的BBGKY，我们在玲珑塔的第四层遇到了如期而至的玻尔兹曼。实际上，求解BBGKY方程链问题与求解原始的刘维方程一样困难，不过聪明的物理学家们总是能在变化中看到机会。BBGKY方程链由N 个耦合的方程构成，若只取前n 个方程，而对其对应的高阶 (n 1个) 方程的依赖关系进行截断，便可获取近似的封闭方程组，而近似方程则更易于求解。

事实上，对于BBGKY第一方程进行截断，就可推导出玻尔兹曼方程。从这个过程可知，玻尔兹曼方程虽然是针对单一粒子，但也考虑了其周围其它粒子的影响，只不过进行了粗化。

另外，根据刘维方程中所提到的期望值的计算方法，即积分ʃϕ(P1)F(P1,t)dP1，便也化身成了我们所熟知的宏观物理量。

虽然玻尔兹曼方程可以通过刘维方程直接推导出来，然而玻尔兹曼方程最初的起点则是麦克斯韦的天才发现：任意时刻单个分子的速度和位置信息并不重要，分布函数才是描述分子效应的重要参数。

玻尔兹曼更进一步将麦克斯韦分布推广到任意大系统，他第一个认识到熵的热力学概念和大系统状态的统计分析之间的紧密联系，即宏观变量中系统的熵随着时间增大，与微观分子排列的最大可能数相对应，进而收获了玻尔兹曼方程。

在玲珑塔的第四层，玻尔兹曼方程已经对粒子进行了大刀阔斧的简化——从N 个粒子简化为单个粒子。而当计算机时代到来后，对方程的状态参量进行离散化便如期而至。

我们在玲珑塔的第五层迎来了如今在计算流体力学领域大放异彩的格子玻尔兹曼方法 (Lattice Boltzmann Method)。LBM最重要的思想便是在有限的速度方向上对玻尔兹曼方程中连续的速度项进行进一步的粗粒化，毕竟速度方向个数有限才能够实现真正的数值计算。

熟悉LBM的朋友都知道，其中最难处理的便是碰撞项。而学者们给出的解决方案则是：基于热动平衡假设，使用对平衡态（麦克斯韦-玻尔兹曼分布）的趋向进行代替，即处于非平衡状态的粒子分布在碰撞后会向着平衡态过渡，而过渡的速率则取决于粘度、温度等物理参数，通常定义为松弛。

于是，LBM越来越广泛的应用于计算流体力学的分析。不过时至今日，仍有很多学者质疑LBM是否能够准确的复现经典流体力学所描述的流体运动，我们只好推开玲珑塔第六层的大门。

推开玲珑塔的第六层，来到描述流体运动的顶层，即在宏观层面上，直接描述流体的运动，也就是通过宏观控制方程直接求解流场中的压力、速度、温度等物理量。相信小伙伴们都能够大声的喊出它的名字——N-S方程。

许多深受经典流体力学影响的小伙伴们，一直坚定的认为N-S方程才是描述流体运动的基本方程。实际上，如果对玻尔兹曼方程或者LBM进行一定的假设和数学推导，便可得出N-S方程。比如基于LBM方程，施加努森数远小于1的假设条件，就可推导出N-S方程。

由此，我们也能直观的理解，LBM比N-S方程更接近物理本质，而N-S方程的描述则是LBM在连续介质条件下的一个特例。

当然，N-S方程更传统的推导方式仍然是基于经典流体力学的理论。不过经典流体力学以实验为基础的研究方法，其中有许多先验性结论（比如牛顿内摩擦定律），给讲究数学纯粹的学者们留下了批判的口实。而从动理学的理论出发推导N-S方程，则从根本上验证了流体力学定律的合法性。

当我们数罢描述流体运动的玲珑塔，抬头仰望，才豁然发现已是满天的繁星，而曾经不明白的很多内容也似乎有机的串联了起来。从动力学理论的观点来看，只有最详细的描述（所有分子的所有维度的状态）才是准确的。而其他层级的方程则可以理解为不同的近似级别，其提供的准确性有所不同。比如玻尔兹曼方程中的F 不如刘维方程中的W 精确，而宏观守恒方程则又不如玻耳兹曼方程那么精确。