变分法与有限元法

来源：周筑宝科学网博客，作者：周筑宝。

变分原理是工程力学的重要组成部分，在理论上和实用上都具有重要的价值。事实上现在有限元法的数学公式推导中已广泛采用了各种变分原理的结果。下面以一个求解二维稳定温度场问题的简单例子，来说明所有的泛函求极值问题（力学中所谓的变分原理就是一个泛函求极值的问题），其实都可以按照一种大致相同的模式，用有限元法求得其近似解答。

例：如所周知，求解二维稳定温度场的问题，在数学上可以归结为求解满足边界条件的Laplace 方程的问题

其中，T 为温度，S 为求解域D 的边界。即在边界S 上给定一不随时间变化的温度分布f(x,y)，要求出在达到稳定状态后，求解域D 内的温度分布的问题，可通过求解上式获得解决。

由变分法的理论知，对于

形式的泛函，与Φ 的变分问题

相应的Euler 方程为

当φ=[(əT/əx)² (əT/əy)²] 时，由上式可得到与之相应的Euler 方程为ə²T/əx² ə²T/əy²=0，此即二维稳定温度场的控制方程（求解满足边界条件的Laplace 方程）式。可见求解二维稳定温度场的问题与在满足T |s=f(x,y) 的条件下，求泛函

极值的条件变分问题等价。这样求解满足边界条件的Laplace 方程式的问题就等价地转化为一个条件变分问题（即泛函在满足一定的条件下的求极值的问题）了。解决上述问题的有限元法步骤如下：

先将求解域D 划分为许多单元（即“元素”），例如划分为k 个三角形单元，并且假设有n 个内结点（即不包括边界结点在内的其它结点），如此则有

其中，Δe 表示编号为e 的任意一个三角形单元在D 中所占据的面积，因此有

当每个三角形单元都取得很小时，可设任一单元e 内的温度分布T ^e(x,y)=α1 α2x α3y（即可假设单元内的温度分布是“线性”的)。设e 单元的三个结点编号及结点坐标如图1所示，则T ^e(x,y) 可用e 单元三个结点的温度Ti、Tj、Tm 表示为（不对具有相同下标的项进行求和运算）

其中

上两式可通过由T ^e(x,y)=α1 α2x α3y 得到的

求出α1、α2、α3，并代入T ^e(x,y)=α1 α2x α3y 之后得到。将

代入

并积分可得

于是由

有

在将边界S 上结点的已知结点温度值代入上式之后，泛函

则化为以n 个内部结点温度 (T1, T2 , … ,Tn) 表示的一般函数𝜙(T1, T2 , … ,Tn) ，于是δΦ=0 因为有上式而可用下式替代。

因为上式共有n 个方程，而待定的未知量 (T1, T2 , … ,Tn) 也是n 个，故由上式即可确定结点温度T1, T2 , … ,Tn（上式关于T1, T2 , … ,Tn 的系数矩阵，即相当于通常在固体力学中按位移求解时所谓的刚度矩阵）。将T1, T2 , … ,Tn 代入下式

则可完全确定任意一个单元e 中的温度分布，从而使问题获得解决。

上例展示了，如何将一个求解在满足给定边界条件下的微分方程问题转化成为一个等价的条件变分问题，然后再将此条件变分问题转化成为一个按有限元法近似求解的问题的全过程。由该例可以看出，实际上任何变分问题都可按照与该例大致相同的步骤，用有限元法获得近似解答，从而映证了前面所述的“变分原理是推导有限元法的一个有效而系统的工具”的结论。

除此之外，广义变分原理在处理有限元法的边界条件，在消除位移型有限元的应力不连续性，以及在使用了混合型有限元后，可以采用最简单的插值函数并得到各单元间应力都连续的近似解法等方面，都具有其独有的实用价值^[1] 。综上可见，由于有限元法的兴起和广泛应用，因此而引发了一个进一步研究变分原理的新高潮，也就成了一件不足为怪的事情了。

参考文献：

[1] 钱伟长. 应用数学与力学论文集. 南京: 江苏科学技术出版社, 1980.