瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

讨论自激振动问题，不能不提到瑞利方程和范德波尔方程。19世纪的英国物理学大师瑞利 (Lord Rayleigh) 曾在声学研究过程中建立了以下微分方程（瑞利方程）：

1926年荷兰物理学家范德波尔 (Van der Pol, B) 研究电子管震荡回路时，分析了括号内稍有区别的另一类方程（范德波尔方程）：

这两种方程其实相互等价。将瑞利方程对t 求导，x 的一阶导数作为新的变量仍记作x，参数3d 以d 代替，即化作范德波尔方程。

图1 瑞利 (Lord Rayleigh, 1842-1919）

图2 范德波尔 (Van der Pol,B., 1889-1959)

瑞利方程或范德波尔方程的第二项相当于线性系统的阻尼项。当位移x 或速度 dx/dt 较小时，此阻尼项为负值，表明外界有能量输入使振幅增大。但对于x 或 dx/dt 的足够大的值，此阻尼项变为正值，导致能量耗散使振幅衰减。可以预计，在上述两种情况之间可存在振幅既不增大也不缩小的等辐振动，也就是自激振动。因此，瑞利方程和范德波尔方程可作为表达某种自激振动的数学模型。

再利用相平面方法分析。用新的变量y 表示速度，不失一般性，令ω²=1，d=1，可将瑞利方程转换成状态变量 (x, y) 的一阶微分方程组

将二式相除，消去时间微分dt，得到仅含变量x 和y 的一阶微分方程：

利用列纳作图法，令斜率等于零，dy/dx=0，得到相平面 (x, y) 内的零斜率等倾线

即图3中用虚线表示的曲线。可看出在原点附近零斜率发生于第一、三象限，原点附近的相点必向外发散。在远离原点处，零斜率发生于第二、四象限，相点向内收缩。由此推断，这两种走向相反的相点必趋向一个稳定的极限环（图3）。从而表明，如实际发生的振动过程可以用瑞利方程或范德波尔方程表达，则必为自激振动无疑。

图3 瑞利方程的极限环

以输电线舞动现象为例。被冰层覆盖的输电线在水平阵风作用下可产生强烈的上下抖动，振幅可达一、二米而导致严重事故（图4）。

图4 输电线的舞动

截取一小段电线为集中质量，以无振动时线段的质心平衡位置O 为原点，建立参考坐标系 (O-xy)。质心C 的垂直位移以坐标y 表示（图5）。当风速为v0 的水平阵风吹来时，其相对输电线的相对速度v 为

图5 输电线的受力图

其中，j 为y 轴的基矢量。设α 为攻角，即速度v0 与水平轴x 的夹角。则有

输电线的圆形断面被冰层覆盖后成为非圆形的不规则形状。阵风对电线不仅产生沿 v0 方向的阻力Fd，同时产生与v0 方向垂直的升力F1 。根据空气动力学的实验研究，阻力与升力的变化规律为

其中，ρ 为空气密度，l 为断面的特征长度，cd、c1 分别为阻力系数和升力系数。cd、c1 均为攻角α 的函数。攻角α 较小时，气动力沿y 轴的垂直分量Fy 近似为

其中，cy=c1 cdα。cy 随攻角α 的变化规律为非线性函数，如图6所示。代入上式 后，Fy 随α 的变化可用3次代数多项式模拟

图6 空气动力系数与攻角关系曲线

设m 为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为k，建立输电线段在风力作用下沿y 轴运动的动力学方程

将其中的风力Fy 以Fy =aα-bα³ 代入，攻角α 以α=/v0 代入，化作瑞利方程

其中

于是，输电线舞动现象即可利用瑞利方程的极限环得到解释。

类似上述输电线舞动的自激振动现象早在19世纪就已引起注意。人们发现，当微风吹过竖琴的细弦时会使竖琴发出声音，这种现象曾吸引捷克物理学家斯特劳哈尔 (Strouhal,V.) 的注意。1878年，他对气流通过圆截面柱时产生的振动做了系统的实验研究。结论是振动频率与流速成正比，与圆截面柱的直径成反比。1912年，美籍匈牙利力学家冯‧卡门 (Von Kármán,T.) 从理论上证明，当流体绕过非流线形障碍物时，会在物体后方两侧产生反对称等距离排列的，旋转方向相反的成对涡旋，称为卡门涡街（图8）。出现涡街的尾流对物体产生周期变化的作用力，频率与流速和物体直径的关系与斯特劳哈尔的实验结果符合一致。当激励力与物体固有频率接近时产生共振，即人们观察到的自激振动现象。基于卡门涡街的原理，上述输电线的自激振动就有了更深入的理论依据。

图7 冯‧卡门 (Von Kármán,T. 1881-1963）

图8 卡门涡街

在工程技术中，与输电线被风载激起的自激振动类似，细长的大跨度桥梁或高层建筑物在风载荷作用下的振动也基于相同的机理。1940年，美国塔科玛桥由于风载导致坍塌就是工程史中著名的自激振动案例（图9）。飞机高速飞行时机翼由于空气动力与弹性变形耦合产生的自激振动称为颤振 (flutter)。在日常生活中，风琴和木管乐器的簧片振动，乃至动物和人类声带的振动，都是类似的自激振动。

图9 塔可玛桥因自激振动倒塌

吹哨子或吹口哨、笛子、萧和埙等管乐器，这些乐器发声是气体涡旋引发的另一类自激振动。当气流从小孔射出，前方遇到尖劈形物体的阻挡时，气流被迫沿尖劈两侧流动，也会产生卡门涡街引起的振动和声音，这种特殊的自激振动称为 “边棱音” (edge tone) 现象（图10）。振动频率与气流速度成正比，与气流至尖劈的距离成反比。

图10 边棱音现象

范德波尔方程表达的另一个自激振动例子为流体管道系统的振动。管道系统当管内流体的流速在某个特殊值附近时，可发生强烈振动。这种情况常发生于化工厂，但生活中也很常现。有时拧开水龙头时，自来水管内的水流与水管产生耦合振动，伴随强烈的噪音。这种振动也是自激振动，称为流体的喘振 (surge)。

以水管为例。设水泵通过导管1将水注入容器2（图10），导管的长度为l，容器内的水面高度为h，导管和容器的横截面积分别为S1 和S2，导管左右两端的压强分别为p1 和p2，管内水流的流量为q，密度为ρ，管内阻力为Fd，利用动量定理列写管道内水流的动力学方程

图10 输水管道系统的简化模型

其中，水泵输出水流的压强p1 和阻力Fd 均为流量q 的函数。令

函数f (q) 的实验曲线如图11所示。

图11 f (q) 函数特性曲线

导管与容器连接处的压强p2 取决于容器内的水面高度h

设q0 为容器的出水流量，流体的连续性要求

将下式各项对t 求导

将

代入

化作

令此方程中的导数项等于零，得到q 的稳态值为q=q0，此时流入容器与流出容器的流量相等。若图7中q0 对应的函数值f (q0) 恰好位于特性曲线的斜率为正的拐点处，则在q=q0 附近，函数f (q) 可近似表示为

令x=q=q0，

即化作范德波尔方程

其中

于是，流体喘振现象就能用范德波尔方程的极限环做出解释。

如上所述，流体喘振仅当正常流量q0 在特性曲线f (q) 中的正斜率位置方可能发生。若q0 对应的函数值f (q0) 在此位置以外的负斜率处发生，则下式中的阻尼项变为正值，流体做衰减振动。

因此，也存在前文叙述的动态分岔现象。连续调整流量q0，管道内的流体可从衰减振动突变为自激振动。或者相反，使自激振动突然消失。由此可见，在输水管道系统的设计中，只要避免q0 位于特性曲线f (q) 的正斜率处就能防止管内流体发生喘振。

利用近似解析方法对瑞利方程或范德波尔方程作近似计算，可算出所描述自激振动的振幅、频率，以及受周期激励作用的响应等。具体方法可参阅参考文献。

参考文献：

[1] 刘延柱，陈立群. 非线性振动. 北京：高等教育出版社，2001

[2] 刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学(第三版). 北京：高等教育出版社，2019

（原文注：改写自：刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学(第三版). 第4章. 高等教育出版社，2019；刘延柱. 趣味振动力学，7.4节. 高等教育出版社，2012）