傅里叶变换
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过冷水最近这个段时间给大家讲了好几期傅里叶级数展开，本期作为收尾工作，将会清楚明白的告诉大家傅里叶变换是怎么回事。
傅里叶级数实际实际是对周期函数和半周期函数的按基地函数去1、cosx、cos2x、...cosnx、sinx、sin2x、sinnx的展开式。如果定义在（-∞，∞）区间的非周期函数还能进行傅里叶展开吗？傅里叶计算扩展到连续变换的情况后就是傅里叶积分。
已知周期为2π的函数用傅里叶展开式形式如下：
则周期为2L的函数用傅里叶展开为：
对微分变换过程有疑问的可以查看过冷水往期推文积分变量替换到legendre微分变换。如果L→∞，则该函数就不在具有周期性，而且区间变成（-∞，∞）。我们一起来看傅里叶级数展开式会发生哪些变化：
则：
则f(x)变为：
该函数表达式就是函数f(x)的傅里叶积分表达式。物理上通常认为f(x)代表一个“信号”系数A(w)和B(w)是信号f(x)的频谱分布函数，由信号得到频谱的过程叫做傅里叶分析。
给个实例来演示一下傅里叶积分变换：
Matlab计算代码:
syms w
X=linspace(-10,10,300);
for i=1:length(X);
x=X(i);
f=(2.*cos(w.*pi/2)*cos(w.*x))./(pi.*(1-w.^2));
F(i)=vpa(int(f,w,0,100));
end
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(X,F,'LineWidth',2);
xlabel('$x$','Interpreter','latex');
ylabel('$f(x)$','Interpreter','latex');
box(axes1,'on');
ylim(axes1,[-0.02 1.2]);
set(axes1,'FontSize',16,'LineWidth',2);
Matlab计算代码:
syms w
X=linspace(-10,10,100);
for i=1:length(X);
x=X(i);
f=(2.*cos(w.*pi/2)*cos(w.*x))./(pi.*(1-w.^2));
F(i)=vpa(int(f,w,0,100));
end
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(X,F,'LineWidth',2);
xlabel('$x$','Interpreter','latex');
ylabel('$f(x)$','Interpreter','latex');
box(axes1,'on');
ylim(axes1,[-0.02 1.2]);
set(axes1,'FontSize',16,'LineWidth',2);
傅里叶积分是很接近傅里叶变换的形式，将频谱w∈[0,∞]变成w∈[-∞,∞]，我们来看一下怎样将一个函数进行傅里叶变换。
函数的傅里叶积分形式：
令：
F(w)称为f(x)的傅里叶变换，f(x)称为F(w)的反傅里叶变换。本期的分享就这么多，经过连续几期的讲解过冷水终于把傅里叶变换以自己觉得能理解消化的方式给大家分享出来了，读者若是有不懂的地方可以推文后留言或后台留言，一起探讨，过冷水衷心希望分享的知识大家能够有用。
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