过冷水诚挚邀请你加入Matlab仿真秀官方交流群进行Matlab学习、问题咨询、 Matlab相关资料下载,群号:927550334
久久不更,更则必是大招,本期推文有理论有案例,有兴趣的读者仔细阅读。
过冷水之前有和大家讲傅里叶级数,并给出以一个函数用傅里叶级数近似的案例。本期就进一步详讲傅里叶级数。傅里叶级数展开时基底函数取1,cosx、sinx,cos2x、sin2x.....cosnx、sinnx,傅里叶级数一般情况下表示为:
a0、an、bn是展开系数。假定一个周期为2π的函数f(x 2π)=f(x)现在计算其系数。这就需要一点灵活的数学思想来解决问题。我们对上式两边在[0,2π]范围内积分。可得:
我们继续采用两边积分的方法求系数an、bn,对泰勒级数两边同时乘以cos(mx),然后在[0,2π]范围积分,如下:
则当m=n时:同理推bn:
许多实际问题中,函数f(x)是一个定义在有限区间0<x<X上的任意函数。对这样的函数如何展开傅里叶级数?大师告诉我们依旧可以用正弦函数、余弦函数展开:
现在求展开系数的表达式:
讲完傅里叶级数的理论,我们来看看实际傅里叶级数实际应用。过冷水在学习过程中遇到如下一幅图,需要对该函数进行积分求值:
%原图像数据
x=[-0.0171386436557126,2.64214113473764,2.75334303194563,2.92014587775763,2.92134159708245,2.97813826501126,3.03453635983180,3.09133302776062,3.14852826879770,3.20592279638893,3.26311803742601,3.31991470535483,3.37691065983778,3.43350804121246,3.49030470914127,3.54490922497459,3.54371350564977,3.59811873492895,3.65232467765400,3.70633133382491,3.76053727654995,3.81514179238327,3.86974630821658,3.92435082404990,3.97935391299149,4.03415771537894,4.14416389326212,4.25436935769944,4.36457482213675,4.58578289722792,4.69598836166524,4.80738954542737,4.86318978058550,4.97419239123936,5.14019809083481,5.25080212838040,5.36160545248012,5.47280734968812,5.69441399788756,5.80581518164969,5.91721636541183,5.91781422507423,5.97401303334064,6.03001255505291,6.08581279021105,6.19581896809422,6.25082205703581,6.36122680802726,6.41642918352299,6.69343749377230,6.85944319336774,7.02584746607147,7.13625221706292,7.30185934355009,7.57866836724526,7.74527192650312,7.80127144821539,7.85707168337352,7.96727714781084,8.07748261224815,8.18768807668547,8.29829211423105,8.57530042448036,8.63110065963850,8.90810896988780,9.01931086709580,9.07531038880807,9.13130991052034,9.24251180772833,9.29831204288647,9.40851750732378,9.51872297176110,9.68433009824827,9.79533270890213,9.90593674644772,10.0719424460432,10.3489507562925,10.4601526535005,10.6819585882541,10.8475657147412,10.9583690388410,11.0695709360489,11.1805735467028,11.2907790111401,11.4013830486857,11.5677873213894,11.7341915940931,11.8997987205803,12.0660037067299,12.2326072659878,12.3436098766416,12.5100141493453,12.6214153331075,12.6774148548197,12.8432212678611,13.0088283943482,13.1750333804978,13.2302357559935,13.5626457282927,13.6736483389466,13.7286514278882,13.8392554654337,13.9496602164252,14.3374718507742,14.4486737479822,15.1134936925806,15.2804958249467,15.5575041351960,15.6135036569083,15.7247055541163,15.8909105402658,16.0013152912573,16.1117200422488,16.1667231311903,16.2773271687359,16.3325295442317,16.4987345303812,16.5539369058770,16.7755435540764,16.9419478267801,17.0523525777716,17.1629566153172,17.3845632635166,17.6065684848243,17.8283744195779,18.0499810677774,18.2167839135894,18.9370055202376,19.2134159708245,19.3796209569740,19.4906235676279,19.7122302158273,19.8226349668188];
y=[5.95683453237410,5.95683453237410,6.02158273381295,6.11870503597122,6.31294964028777,6.53956834532374,6.70143884892086,6.92805755395683,7.21942446043166,7.54316546762590,7.83453237410072,8.06115107913669,8.32014388489209,8.51438848920863,8.74100719424460,8.61151079136691,8.41726618705036,8.25539568345324,8.06115107913669,7.83453237410072,7.64028776978417,7.51079136690648,7.38129496402878,7.25179856115108,7.18705035971223,7.08992805755396,6.96043165467626,6.86330935251799,6.76618705035971,6.70143884892086,6.60431654676259,6.70143884892086,6.76618705035971,6.79856115107914,6.76618705035971,6.73381294964029,6.73381294964029,6.79856115107914,6.79856115107914,6.89568345323741,6.99280575539568,7.08992805755396,7.21942446043166,7.31654676258993,7.38129496402878,7.25179856115108,7.18705035971223,7.12230215827338,7.08992805755396,7.08992805755396,7.05755395683453,7.08992805755396,7.02517985611511,6.92805755395683,6.89568345323741,6.96043165467626,7.05755395683453,7.12230215827338,7.02517985611511,6.92805755395683,6.83093525179856,6.79856115107914,6.79856115107914,6.86330935251799,6.86330935251799,6.92805755395683,7.02517985611511,7.12230215827338,7.18705035971223,7.25179856115108,7.15467625899281,7.05755395683453,6.96043165467626,6.99280575539568,6.96043165467626,6.92805755395683,6.92805755395683,6.99280575539568,7.02517985611511,6.92805755395683,6.92805755395683,6.99280575539568,7.02517985611511,6.92805755395683,6.89568345323741,6.92805755395683,6.96043165467626,6.86330935251799,6.86330935251799,6.92805755395683,6.96043165467626,6.99280575539568,7.08992805755396,7.18705035971223,7.12230215827338,7.02517985611511,7.02517985611511,6.99280575539568,6.99280575539568,7.02517985611511,6.96043165467626,6.92805755395683,6.86330935251799,6.86330935251799,6.92805755395683,6.92805755395683,7.05755395683453,7.05755395683453,7.15467625899281,7.21942446043166,7.21942446043166,7.15467625899281,7.08992805755396,7.02517985611511,6.99280575539568,6.96043165467626,6.96043165467626,6.92805755395683,6.92805755395683,6.96043165467626,6.89568345323741,6.86330935251799,6.86330935251799,6.92805755395683,6.96043165467626,6.96043165467626,7.05755395683453,7.05755395683453,6.96043165467626,6.96043165467626,6.99280575539568,6.99280575539568,6.92805755395683];
%函数拟合
f=fit(x',y','smoothingspline');
x1=linspace(2,19,250)';
y1=f(x1);
%绘图
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(x,y,'LineWidth',2,'Parent',axes1);
plot(x1,y1,'LineWidth',2,'Parent',axes1);
legend('原函数图像','拟合函数图像');
xlabel('$x$','Interpreter','latex');
ylabel('$y$','Interpreter','latex');
xlim(axes1,[0 20]);
set(axes1,'FontSize',12,'LineWidth',2);
使用函数拟合工具箱直接给出多项式拟合、高斯拟合、傅里叶拟合的函数图像,由拟合图像可知,傅里叶拟合和高斯拟合明显较好,使用起来比较简单。再一次告诫大家,在拟合图像的时候只知道多项式拟合就显得太不成熟了。
在此给出傅里叶拟合的代码:
[~,locs]=findpeaks(-y,'npeaks',1)
x3=x(2:locs);y3=y(2:locs);
f= fit(x3', y3','fourier3');
syms x
y4= f.a0 f.a1*cos(x*f.w) f.b1*sin(x*f.w) f.a2*cos(2*x*f.w) f.b2*sin(2*x*f.w) f.a3*cos(3*x*f.w) f.b3*sin(3*x*f.w);
y4即为想获得函数解析式 。过冷水在学习的过程中有接触到较为自己编辑傅里叶级数公式代码见从泰勒级数说傅里叶级数。
过冷水发表于仿真秀 平台原创文章,未经授权禁止私自转载,如需转载请需要和作者沟通表明授权声明,未授权文章皆视为侵权行为,必将追责。如果您希望加入Matlab仿真秀官方交流群进行Matlab学习、问题咨询、 Matlab相关资料下载均可加群:927550334。
精品回顾
过冷水和你分享 matlab读取存储各种文件的方法 文末有独家金曲分享