音乐里的力学和数学

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

• 打击乐器：如定音鼓、木琴、钢片琴都是自由振动，钢琴和竖琴也是自由振动；

  
  

• 木管乐器：如长、短笛、单簧管、双簧管、大管都是自激振动；

  
  

• 铜管乐器：如大、小号、圆号、长号也都是自激振动；

  
  

• 弦乐器：如小、中、大提琴，倍大提琴，拨奏时是自由振动，拉奏时是自激振动。

此外，弦乐器的腹板和音箱中的空气受弦振动激励产生的振动，以及木管和铜管乐器里的空气柱受簧片或嘴唇振动激励产生的振动，又都属于受迫振动。由此可见，那环绕在音乐厅里的美妙音乐其实是各种类型振动的巧妙组合。

在中国的民族乐器中，鼓、磬、钟、锣、鼓等打击乐器，琴、瑟、筝、琵琶、胡琴等弦乐器，箫、笛、管、笙、唢呐等管乐器的发声，也分别属于各种类型的振动。

二、毕达哥拉斯的发现

人类对振动现象最早的科学探索就是从研究乐器发声开始的。公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯 (Pythagoras) 是研究乐器发声原理的先驱（图1）。据说，毕达哥拉斯有一次被铁匠铺传出的和谐悦耳的敲打铁砧声吸引了注意。为探寻优美的声音里是否蕴藏着未知的数学奥秘，他经过仔细的观察发现，原来小铁砧与大铁砧的体积之间满足1:2或2:3等简单的整数比。当铁砧的体积之间存在这种整数比例关系时，发出的声音就十分和谐。弦乐器和管乐器的发声也同样如此，当弦线的长度之间或管乐器的长度之间满足简单的整数比例时，便能产生出和谐的声音。

毕达哥拉斯又通过实验发现，弦线的振动频率与弦线的长度成反比关系。按照整数比例调整琴弦的长度，声音的频率之间也满足整数比例。比如将手指按在琴弦的中点使长度缩短一倍，频率就增加一倍。发出的声音恰好是空弦的高八度音，听觉上最为和谐。小提琴演奏的“泛音”技巧就是轻按空弦中点，以产生透明纯真的声音效果。弦长每缩短1/3，发出声音的频率就升高五度。也就是小提琴相邻空弦之间的五度音程。演奏者在调音时，往往根据对和谐程度的感觉来判断五度音程的准确程度。

图1 研究音乐的毕达哥拉斯

弦线的振动也曾在16世纪引起伽利略的兴趣。当他在比萨大教堂里思考吊灯摆动的周期是否与摆动幅度无关的问题时，作为有经验的诗琴（一种古老的拨弦乐器）演奏者，他也注意到琴弦振动与摆的类似之处。当琴弦上发出的声音逐渐变弱，振幅减小时，它发出的音调依然不变。于是，从另一个侧面验证了摆的等时性。

比毕达哥拉斯更早些的年代，即我国春秋中期，管仲撰写的《管子·地员篇》中，已对上述弦线振动的规律有更早的认识（图2）。他提出的“三分损益律”是我国，也是世界上最早的音律学文献，将在后文中叙述。

图2 管仲 (725～645BC)

三、弦乐器的发声

作为一种古老的乐器，弦的振动可能是人类对于振动现象最早的认识和利用。《诗经》中有诗句曰：“窈窕淑女，琴瑟友之”。说明早在三千多年以前我国就已有了利用弦振动发音的乐器—琴和瑟（图3）。在西洋乐器里，钢琴和竖琴是最具代表性的弹奏乐器。至于中国的琵琶，西方的吉他，形形色色的民间弹拨乐器更是不计其数。

图3 古琴

弦乐器的弹拨发音是典型的自由振动。1713年，英国数学家泰勒 (Taylor, B) 导出了弦振动的固有频率公式：

其中，序号i 表示频率的阶数，fi为弦的第i阶振动频率。ρ、S、l、F 依次表示弦的密度、截面积、长度和张力。因此，弦愈细、愈轻、愈短，张弦的拉力愈紧、发出声音的频率就愈高。反之，愈粗、愈重、愈长和张力愈松的弦，发声的频率就愈低。对同一根弦，依靠弦轴的松紧可以对空弦的音调进行调整。当琴弦的质地和张力都确定以后，音调就随琴弦长度而改变。调音结束后，演奏者利用手指在弦上的运动不断改变弦的长度，就能演奏出动听的音乐。观察竖琴和钢琴中琴弦的排列次序，也能看出弦的频率与长度粗细之间的对应关系。

弦乐器不仅能靠弹拨发音，也能用琴弓在弦上来回摩擦发音，我国最常见的拉奏弦乐器是胡琴（图4）。胡琴原是北方少数民族的乐器，唐代传入中原，故称为胡琴。西洋乐器中的小提琴和大提琴等，是和胡琴相似的弦乐器（图5）。提琴的4根弦分得很开，既能拉奏 (arco) 也能拨奏 (pizzicato)。胡琴也能拨奏，不过因为两根弦过于靠近，拨奏不如提琴方便。

图4 胡琴和小提琴

既然弦乐器可以拨奏也能拉奏，于是产生一个疑问：同一根弦和同一个指位，不同演奏方法发出的声音是同一个音调吗？演奏者对此似乎并不在意。但从力学观点分析，两种演奏方法的发音确实存在差异。与拨奏的自由振动不同，拉奏属于干摩擦自激振动（图6）。两种振动的性质截然不同，拨弦的频率就是弦的固有频率；拉奏的频率与拨弦频率接近，但不完全相同。

将琴弦简化成弹簧－滑块系统（图6），琴弓与琴弦之间存在干摩擦力。摩擦力的影响可以改变振动频率。根据振动力学的分析，受黏性摩擦作用的弹簧－滑块系统的固有频率小于无摩擦情形的固有频率。拉奏时琴弓对琴弦的干摩擦远大于拨奏时琴弦自由振动时的空气阻尼，利用耗散能量相同的黏性摩擦可以等效地替代干摩擦^[1]。等效的黏性摩擦系数为

其中，μ 是库伦摩擦因数，ωn 是琴弦的固有频率，FN 和A 分别是弓对琴弦的正压力和琴弦振动的幅度。

图6 琴弦与琴弓组成的振动系统

当琴弓借助摩擦力咬住琴弦一起向右运动时，琴弦被琴弓带动作单方向的匀速运动。随着弹簧变形的增大，弹性恢复力不断增长。当琴弦移动到一定程度，弹性恢复力足以克服静摩擦力时，琴弦即被迫脱离琴弓向左滑动，起先在弹簧恢复力作用下加速，超过平衡位置后开始减速，直到相对速度减到等于零时，琴弦再次被琴弓咬住向右运动。因此，琴弦的干摩擦自激振动可分为两个阶段：被琴弓带动的匀速运动和脱离琴弓在常值摩擦力作用下的简谐振动。自激振动的极限环也由相应的两部分组成（图7），图中因匀速运动出现的捷径PQ 势必改变振动的周期。因此，严格说来弦乐器的拨奏和拉奏发出声音的频率并不相同，不过差异可能不大，以至于演奏者和聆听者仅凭听觉未能觉察到而已。

图7 琴弦自激振动的相轨迹

细弦发出的声音很微弱。要使弦乐器发出足够响亮优美的声音，单靠弦的振动是不够的。所有的弦乐器都有音箱，以小提琴为例，弦的振动经过琴桥传递到音箱的面板，又经过音柱传递到背板，使两块板都产生受迫振动，进而使音箱内的空气也一同振动。多种形式振动的综合，最终才能形成美妙的乐声。

在小提琴的制造工艺中，面板和背板的质量是非常关键的因素，对木材的品种、花纹和干燥程度都有严格要求。18世纪德国的物理学家，同时也是一位音乐家的克拉尼 (Chladni,E.) 对薄板振动模态的图形怀有特殊兴趣（图8）。他将细沙撒在薄板上，用小提琴的琴弓摩擦板的边缘，使板产生驻波形式的振动（图9）。板上的细沙在振幅最大的波腹附近，因上下跳动而不可能保持在原地逗留，只有在振幅为零的波节处才有细沙的聚集。因此，细沙所形成的图案就描绘出薄板二维振动的节线，称为克拉尼图形 (图10)。于是原来用肉眼难以分辨的振动形态就能以克拉尼图形直观地展现出来，成为检验和研究乐器声学效果的有效方法。

图8 克拉尼 (Ernst Chladni, 1756 -1827)

图9 克拉尼图形的产生

图10 小提琴面板的克拉尼图形

四、管乐器的发声

利用木管或铜管内的空气振动发音的乐器称为管乐器。人类在石器时期就会制造最原始的管乐器，如7000多年前，浙江河姆渡遗址曾发现多个禽骨制成的骨哨；我国的先民还会烧制陶笛和陶埙；到夏商时期，陶埙已从单音孔发展为多音孔（图11）；战国初期的曾侯乙墓出土的竹笛已有完整的七声音阶。这种发源于南方的楚笛和汉唐时期北方从西域引进的羌笛，是我国最古老的竹笛乐器。

图11 陶埙

19世纪德国物理学家亥姆霍兹 (Von Helmholtz,H.) 设计了一个以他命名的共鸣器（图12）。共鸣器是一个带细颈的容器，细颈内空气柱的固有频率f 取决于细颈的长度l、直径d 和容器的体积V（图13）。被测量的声波使颈内的空气柱产生受迫振动，并激起容器内空气的共鸣。当声波频率与空气柱的固有频率一致时，便产生共振发出声音。亥姆霍兹共鸣器可视为木管和铜管乐器的简化模型，都是利用管内空气柱的振动发出声音。利用开管空气柱的计算公式：

表明空气柱的振动频率f 与长度l 成反比，其中c 为声速。这种比例关系与弦振动频率与长度的关系类似，都是通过改变长度调节振动的频率。

图12 亥姆霍兹 (H. von Helmholtz, 1821~1894)

图13 亥姆霍兹共鸣器

要使空气柱的振动延续不断，就必须有持续的激励。以双簧管为例，当气流通过簧片间狭窄的间隙时，就会对簧片产生气动力使簧片运动，簧片的位移改变了间隙的宽度也改变了气动力，簧片就会在弹性力作用下恢复原位。如此周而复始，恒定的气流能源就在簧片自身运动的控制下间歇地向簧片输送，形成不衰减的自激振动。铜管乐器没有簧片，而是依靠紧贴号嘴的双唇作与簧片类似的自激振动。

与此不同，笛、萧、埙等乐器的自激振动来自 “边棱音” (edge tone) 现象。当气流从小孔射出，前方遇到尖劈形物体的阻挡时，气流被迫沿尖劈两侧流动，产生不对称的一系列涡旋，即所谓“卡门涡街”，引起振动。振动的频率与气流速度成正比，与气流至尖劈的距离成反比（图14）。

图14 边棱音现象

不同形式的自激振动导致各种管乐器的空管或空腔内的气体做受迫振动，持续发出声音（图15）。

图15 木管和铜管乐器

五、乐器的音色

振动物体的所有固有频率fi(i=1,2,‧‧‧) 中，i=1的最低阶频率称为基频，是最重要的固有频率，因为频率愈高的振动所占的成分愈小。

不同的乐器发出的声音各有不同的特色。比如小提琴和单簧管，即使演奏同一个音也能分辨出明显的差异。原因是任何乐器发出的声音并非纯粹的简谐振动，只有作为调音标准的音叉是少有的特例（图16），敲击一下音叉，产生的自由振动接近理想的简谐振动，振动过程是时间的正弦或余弦函数，所发出的声音可称之为单一频率的 “纯音”。但乐器的自由振动却包含了不同频率简谐振动的组合，其中占主要成分的振动为基音，其频率为基频。若其余简谐振动成分的频率是基频的整倍数，则称为基音的泛音。任何乐器发出的声音都是基音和各阶泛音的组合，而不同的泛音组成便体现了各种乐器特有的音色。

图16 音叉

正是由于基音和泛音的频率之间存在毕达哥拉斯的整数比例关系，乐器才能发出基音和泛音相互和谐的优美声音。如果将不同频率的振动混合在一起，而频率之间毫无规律可言，所产生的声音就非常嘈杂刺耳而成为噪音。现代城市中的来往车辆和各种施工机械发出的噪音，已成为环境污染的重要来源。

六、三分损益律

研究音乐律式的学科称为音律学 (musical temperament)，是音乐学的重要组成部分。音律学的首要任务是建立音阶，春秋中期管仲撰写的《管子·地员篇》中提出的 “三分损益律” 是我国，也是世界上最早的音律学文献。“三分损益律” 的原文为：“凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复于其所，以是生羽。有三分去其乘，适足以是成角。”文中先定义“宫”音的弦长。将弦长增加三分之一称为 “三分而益之以一”，减少三分之一称为 “三分而去其乘”。陆续生成 “徵、商、羽、角”。作为中国古代五声音阶的音调符号。对以上文字分句解释如下：

“先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。”

是指黄钟宫音的弦长为34＝9×9＝81。

“三分而益之以一，为百有八，为徵。”

是指徵音的弦长为81×4/3＝108。

“不无有三分而去其乘，适足以生商。”

是指商音的弦长为108×2/3＝72。

“有三分而复于其所，以是生羽。”

是指羽音的弦长为72×4/3＝96。

“有三分去其乘，适足以是成角。”

是指角音的弦长为96×2/3＝64。

这5个音在表1中依其弦长大小排列为 徵、羽、宫、商、角。构成一个以徵音为主音的五声徵调音阶。但三分损益律不能表示高八度的音，因为高八度音的弦长是原音弦长的一半，而三分损益律凑不出1/2分数。表1中括号内的英文字母是与西方音律学对等的音调符号。为便于分析，增加徵 (G) 音的高八度音，用 徵* (G*) 表示。其弦长定为原音的一半，即108×1/2=54。将相邻两个音的弦长之比表示二者的音程，依次排列在相邻二音之间。

表1 五声音阶

从表1可以看出，徵羽之间、宫商之间、商角之间的音程都是9/8，称为一个全音。而羽宫之间和角徵*之间有更大的音程32/27。为避免音阶中出现太大的跳跃，在羽 (A) 和宫* (C*) 之间插进一个B音，角 (E) 和徵 (G) 之间插进一个F音，令 A、B之间和F、G之间的音程仍保持一个全音，即9/8。而B、C之间和E、F之间的音程为32/27除以9/8，等于256/243，比9/8 小得多，称为半音。于是五声音阶便演变成表2的七声音阶。为便于分析，表2中的宫*音即C* 音对应的弦长取作1，其余各音的弦长均按比例作了调整。七声音阶最早记载于战国后期的《吕氏春秋》，公元前5世纪古希腊的菲洛劳斯 (Philolaus) 残卷中也有记载。七声音阶由于遵循了毕达哥拉斯简单整数比的和谐规律，也称为 “毕达哥拉斯七声音阶”。

表2 五声音阶演变为七声音阶

五声音阶演变为七声音阶，与目前的通用律制已十分接近。缺点是两个半音的音程 (256/243)2＝1.1098并不等于一个全音的音程9/8＝1.125，因此不宜将半音作为基本音程单位，而更理想的律制必须具有统一的基本音程单位。

在表2中，C 音的弦长是高八度音C* 音弦长的两倍。如果将C 音至C* 音的音程按等比例关系划分为12个相同的半音音程，则每个音程单位应等于(2)^1/12=1.0595…。将(2)^1/12作为音程的基本单位，从C 至C* 每隔(2)^1/12设置一个音，除原来的7个音C、D、E、F、G、A、B以外，再插进#C、#D、#F、#G、#A，总共12个音形成的律制称为 “十二平均律”，显然是更为合理的音律，如表3所示。但(2)^1/12是一个无理数，因此十二平均律不同于按照三分损益律演变的七声音阶，各音的弦长之间也不满足毕达哥拉斯的整数比例关系。但比较表3和表2，(2)^1/12=1.0595与256/243＝1.0535之间，(2)^1/6= 1.1225与9/8=1.125之间虽有差别但非常接近，其相对误差小到10^-3量级，人耳已听不出二者的差别。

表3 十二平均律

现代钢琴的琴键严格按照十二平均律排列。表3中的12个音相当于钢琴的12个琴键，带升记号“#”的音为黑键，其余为白键。每两个相邻琴键之间的音程，不分白键或黑键均为统一的半音（图17）。

图17 按十二平均律排列的钢琴琴键

公元前400年前，战国时代制作的曾候乙编钟由65枚大小不同的铜钟组成，是迄今发现的最古老也是最完整的按十二平均律排列的乐器。能在5个半八度范围内奏出完整的12个半音，与现代钢琴的音域已非常接近（图18）。

图18 曾候乙编钟

十二平均律作为理想音律的想法早在古希腊时期就已提出，但具体演绎计算工作到16世纪方有具体结果。1584年，即明朝万历十二年，皇族出身的朱载堉在他撰写的《律学新说》中首先完成了十二平均律基本音程单位的计算，比西方的梅森 (Mersanne,M.) 发表于1636年的著作提前了半个世纪。朱载堉利用《周髀算经》中关于圆方图的研究，即圆周的外切正方形的边长与内接正方形的边长之比为 (2)^1/12的结果，建立以(2)^1/12为公比的等比数列。如将1设为首项，则第12项为 (2)^1/2的12次方。如将公比(2)^1/2改为(2)^1/12，则第12项必等于2，即等于首项弦长的两倍。因此以(2)^1/12为基本音程单位确定的十二平均律如同每个台阶高度都相同的楼梯，无论从何处起步，音阶均按照统一的规律周期性重复，作曲家和演奏家才有可能随心所欲地自由变调。对此朱载堉有以下评论：“盖十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，此自然真理。”

十二平均律至今已通行了几个世纪，成为国际通用的律制。这种理想律制的创建是自然科学史和音乐史中的重大事件，也是古代中国对人类的重大贡献。

参考文献：

[1] 武际可. 音乐中的科学，北京，高等教育出版社，2012

[2] 刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学（第二版）. 北京，高等教育出版社， 2011

[3] 程贞一. 黄钟大吕，中国古代和十六世纪声学成就. 上海，上海科技教育出版社，2007

[4] 戴念祖. 朱载堉－明代的科学和艺术巨星. 北京，人民出版社， 1986

（原文注：改写自刘延柱. 趣味振动力学，第11章. 高等教育出版社，2012）