球面声波的传播：球面波、脉动球、刚性球振荡及气泡声散射
来源：节选自《工程学前沿》讲座课件
球面波 (spherical waves)
球对称声场，物理量仅为径向坐标的函数。如：
p'=p'(r,t)
u'=u'(r,t)
由质量守恒关系得：
由动量守恒关系得：
由质量守恒关系方程和动量守恒关系方程及关系p'=c²ρ 得：
由球坐标下：
可得相同结果。
球对称声波方程
解为：
向外传播的频率为ω 的简谐波可表示为
由前面结果可得压力脉动和质点速度的关系为：
球面波的声阻抗 (p'/u) 比平面波的要小。压力和速度为非同相位变化。当r 很小时，压力的相位领先速度90°，且
随着r 增大时 (c/ω)，压力和速度几乎同相，越来越接近平面波。
当计算对称球面波的声功率，可选择距球面距离较远的地方，而避免了不得不确定p' 和u 之间的相位差。
脉动球 (Pulsating Sphere)
假设在球表面a ε(t) 上的径向脉动速度为ua(t)，由于表面振动产生的向外传播的声波为：
确定函数f，通过表面的动量守恒
确定声波为角速度为ω 的简谐波，则物理量将正比于
，如
令，k=ω/c，由于表面振动产生的向外传播的声波方程可写为
对函数f，通过表面的动量守恒方程进行变换 ，得
由边界条件
得
因此，由球面脉动产生的声波为
无量纲表面声阻抗可定义为
当ka>>1时，Z/ρ0c→1
当ka<<1时，Z/ρ0c→ika=i2πa/λ=i 圆周长/波长
亥姆霍兹数 (Helmholtz number)He=ka
当ka>>1，(non-compact)
当ka<<1，(compact)
与声速无关，在表面p‘ 和u’ 相差90°，有
。如果球的体积变化为
有
刚性球振荡 (rigid sphere oscillating )
声波方程的其它解
可见
也是方程的解。
刚性球其中心沿x1 轴作小幅简谐振动。球的速度为
之实部。
在任意角度θ 处的径向速度为
。由简谐振动产生的声场可以表示为
由径向动量守恒关系得：
由边界条件，在r=a 有
当ka>>1，
其中
当ka<<1，(poor radiator)
散射(scatter)
在气泡表面压力平衡
气泡表面的散射为
共振散射 (resonant scatter）
气泡散射引起的声场，由前面结果
总的表面压力为
气泡表面张力T 的贡献2T/a。有气泡表面的受力平衡得
假设气泡内气体为理想绝热
由得
以及
得
