穿越时空的湍流之旅

关于湍流最早的描述，大概可以追溯到欧洲文艺复兴时期。在那个群星璀璨的年代，达·芬奇无疑是最独特的一个。作为人类历史上绝无仅有的全才，达·芬奇思想深邃，学识渊博，不仅擅长绘画、雕刻、建筑，还通晓数学、生物、物理、天文等学科。除了《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》等旷世名作之外，达芬奇在自然科学方面也作出了巨大的贡献。

在流体力学方面，达·芬奇总结出河水的流速同河道宽度成反比，这也是连续性方程最早的描述。他还通过对鸟翼运动的研究，于1493年首次设计出一个飞行器。当然，达芬奇在流体力学领域最大的贡献仍然是他基于对流体的观察和思考所绘制的图画。

看着达·芬奇创作的流体相关的画作，感觉仿佛穿越时空一般的神奇。达·芬奇对于湍流细节的掌控，让人不禁怀疑他在穿越的时候是不是带了一台能算CFD的电脑。

经典流体力学的三剑客

艺术和科学在推动人类文明前进中相辅相成。文艺复兴之后，整个欧洲的自然科学领域也仿佛开挂了一般，涌现出了诸多屏霸我们物理课本的大神。流体力学的领域自然也不例外。不过为了从科学上解释和计算流动，大神们选择性的忽略了达芬奇之前在图画中描述的充满着旋涡的混乱流动，而是选择研究理想的流体。

作为经典力学的开创者，牛顿大帝当然也没有放过流体力学。经过大量的实验研究，牛顿于1686年提出了著名的“牛顿内摩擦定律”——流体的内摩擦力（即粘性力）的大小与流体的性质（粘性系数μ）有关，并与流体的速度梯度和接触面积成正比。

1738年，丹尼尔·伯努利在经典著作《流体动力学》中提出了著名的伯努利原理：流体速度的增加与静压的降低或流体势能的降低同时发生， 14年以后，丹尼尔一生的挚友——欧拉才给出通用形式的伯努利方程。当然，欧拉大神对于经典流体力学更大的贡献则是将微分方程应用到了流体力学的领域，并提出了影响后世的欧拉方程，即牛顿第二定律施加到理想流体上的微分方程。

伟大的三剑客的确把经典流体力学推向了前所未有的高度，但无论是伯努利方程还是欧拉方程在真正的湍流面前似乎都显得力不从心。

 描述真实流动的N-S双雄

描述理想流体运动的欧拉方程问世以后，吸引了无数的追随者，然而人们很快便发现欧拉方程的结果总是和实际不一致，主要原因便是欧拉方程没有考虑到流体的内摩擦，即粘性对流体运动的影响。

直到1822年，纳维公开发表了关于流体运动的文章，从分子运动层面阐述了相对运动产生的分子间作用力，文章提到：从大量的经验来看，压力并没有明显地影响运动流体各部分之间的分子作用所产生的阻力，而这些阻力来源于相邻分子的速度大小或方向的差异，即分子间的相对速度。另外，纳维在文章中还明确提及了流动的“非线性”，用数学层面的语言解释了某种混乱的流动。

站在前人的肩膀上，1845年，斯托克斯大展神威，推出了引无数流体人尽折腰的“N-S方程”。作为最普世的流体运动方程，它适用于可压缩变粘度的粘性流体的运动，当然也适合于湍流。至此，湍流问题的数学描述得以实现。

可是让流体江湖万分敬仰的N-S方程却不是一个省油的灯，正如我们在之前的文章中调侃过的，N-S方程就仿佛流体江湖的“葵花宝典”，所有人都知道修炼成功之后便可纵横武林，但是欲练此功就必须要“挥刀自宫”。对于N-S方程来说，这最痛的一刀便是方程中的对流项u·▽u，它具有二阶非线性，如同一座大山一样挡在求解者的面前。而非线性本身便是湍流的一大特征。从此N-S方程便和湍流开启了长达一百多年的纠缠，直至今日。

有一种流动，它有一些任性

深得流体力学侠客们热捧的N-S方程虽然1845年就面世了，但很长一段时间以来，人们并没有建立起它和实际湍流流动之间的关联。于是人们将目光从N-S方程转向了湍流本身。

法国著名的机械工程师和数学家Saint-Venant首先在公开发表的文章中区分了 “常规”和“动荡”两种流动状态。后来，人们对这两种流态之间的过渡产生了浓厚的兴趣，大家开始寻求一种解释这种过渡的机制，并寻求一种表征流动不规则、不稳定或者扭曲的标准。

时光荏苒，直到1883年，雷诺通过著名的圆管染色实验，才向人们展示了湍流无规则的流态：随着流速的增加，平稳的流动便逐渐演化为杂乱无章的流动，即为湍流。这大概是我们在教科书上第一次遇见湍流的样子。然而，彼时的雷诺还不知道这种杂乱无章的流动在后世被称为“湍流（turbulence）”，他也不知道后来有一位量子力学的大神——索末菲用他的名字命名了一个神奇的无量纲数——雷诺数。

雷诺实验的第二年，雷诺在《Nature》上发表了一篇关于“水的两种运动方式”的论文，描述了两种流动状态之间的过渡，其中有一段比喻很有趣：一支小型部队很容易在行动中遵守秩序和纪律；而一支庞大的军队则更有可能出现混乱。“平稳的流动”类似于一支训练有素的军队，而“弯曲或不稳定的流动”就像是一支处于“斗争”状态的部队。雷诺在文中用军队的规模、行进速度、纪律等来类比影响流动状态的流动尺度、速度和粘度。当然，在文章中，雷诺还提及了扰动对于湍流触发的影响。

用湍流命名湍流

雷诺实验的经典之处就在于通过科学的实验向人们展示了两种流态之间的过渡以及它们之间的差异。雷诺使用了扭曲、旋涡、不稳定、横向流动等等诸多的形容词形容一种复杂的流动，却唯独没有提到“湍流（turbulence）”。直到威廉姆·汤姆森（William Thomson）在1887年发表的两篇论文中才首次明确使用“湍流（turbulence）”来定义某种复杂的流动。

威廉·汤姆森研究了倾斜的平面流动，并且在文章中提到，当流动是湍流时，流体内部会产生明显的干扰，这种干扰会产生额外的粘性效应。汤姆森进一步建议将流动的两种状态分开，一面是剪切流或层流，另一面，则是湍流或动荡的流动。这是公开发表的文献中第一次以“湍流（turbulence）”的名词来清晰的定义大家熟知的湍流。

或许是汤姆森在流体力学领域的地位还不够显赫，他提出“湍流（turbulence）”很长一段时间以后并未得到整个学界的广泛认可。直到20世纪初，Boussinesq开始在论文中统一使用湍流（turbulence）一词。随后，现代流体力学的祖师爷普朗特和他的徒子徒孙们也开始全面使用湍流（turbulence）一词。再之后，湍流不仅仅成为一个所有人认可的名词，更是成为了一个专门的研究领域。

湍流问题的数学破局

再次回到湍流问题的数学求解，雷诺实验让人们亲眼目睹了‘速度’这一物理变量的复杂性，而速度紊乱的时空演化本质上就是N-S方程的实际解，然而湍流本身的复杂性使得N-S方程在求解湍流时显得捉襟见肘。

不过所幸，对于很多工程问题，我们并不需要完全求解湍流。比如工程上更关心流动的压力损失和平均速度分布，而非湍流的细节。雷诺实验五年以后，雷诺才幡然醒悟，既然流动未可知，不妨使用统计学的思想——对N-S方程进行平均，把瞬时速度u分解为时均速度ū和脉动速度u’，代入N-S方程即可得到雷诺平均的N-S方程，也就是RANS。

然而雷诺平均的N-S方程似乎更复杂了，除了平均速度的应力，上式中还多了脉动应力项，称之为雷诺应力，成为新的拦路虎。不过所幸，在雷诺提出对N-S方程进行速度平均的十几年前，即1877年，Boussinesq 便将湍流脉动引起的切应力类比成了牛顿内摩擦定律，即用粘度乘以速度梯度来表示湍流脉动引起的切应力，也就是雷诺对N-S方程进行速度平均多出来的雷诺应力项。这就是大名鼎鼎的涡粘性假设：雷诺应力=μt*(əū/əy)，其中的μt体现了湍流脉动引起的切应力，称为涡粘性系数。至此，湍流在数学求解层面出现了真正的破局。

集大成者的开宗立派

尽管雷诺和Boussinesq指明了湍流数学求解的方向，然而道路上却充满了沼泽和泥泞，直到咱们的祖师爷——普朗特于1924年提出了混合长度理论，湍流的计算从数学表达到工程应用这座桥梁才逐渐变得清晰。

我们知道流体的粘性来自于分子自由运动产生的掺混，与分子运动自由程密切相关；而对于涡粘性，也可以类似的定义湍流脉动掺混的长度，称之为混合长度，其物理意义为流体微团耗散前所经历的距离，因此脉动速度可以表示为混合长度与Y向速度梯度的乘积，而涡粘性系数则可以相应的表述出来。因此，只要知道了混合长度，便可以明确涡粘性系数，进而求解雷诺平均的N-S方程。

然而混合长度的准确值也很难得知，于是普朗特继续发扬了“跟着感觉走，天下在我手”的科学精神，大胆的认为混合长度与到壁面的距离成正比，从而得到了CFD领域第一种实用的涡粘模型。1978年， Baldwin和Lowmax基于湍流边界层内外层的流动差异提出了更合理的B-L模型，即针对湍流边界层的内层和外层分别定义混合长度。

混合长度模型是代数模型，相当于直接用代数公式定义了涡粘性系数，被称为零方程模型。而我们熟知的k-epsilon模型及其变种（如k-omega模型等），也属于涡粘性模型，该模型针对混合长度继续演化，将其表示为湍动能k、湍流耗散率epsilon和湍流脉动速度的函数，而涡粘性系数便可由k和epsilon导出。普朗特之后，湍流的求解再次进入到了一个全新的时代，直至今日。

从无序中看到有序

对于湍流来说，无论刚开始生成的大尺度涡有多豪横，最后都会慢慢破碎成小涡，直至消亡。于是，湍流的无序中似乎又多了一份有序。1922年，爱写诗的理查德森（Richardson）发现湍动能串级过程。大尺度涡从外界获得能量并输出给小尺度涡；小尺度涡则像一个耗能机械，把湍动能全部耗散为热能；而流体的惯性犹如一个传送机械，把大尺度涡的能量源源不断的输送给小尺度的涡。

1935年，泰勒开始研究更理想化的湍流。他在风洞实验的均匀气流后设置了几排规则的格栅，均匀气流流过格栅时便产生不规则扰动。这种不规则扰动向下游运动过程中，由于没有外界干扰，逐渐演化为各向同性湍流。

湍流理论的筑桥人

有了湍流能级串的定性认识和泰勒的均匀各向同性理论，深知“万物皆可统计”的柯尔莫果洛夫敏锐的认识到湍流也可统计。于是柯大侠就使出了“统计大法”的第一招，即柯尔莫果洛夫的第一相似性假设：如果小涡的尺度足够小，那么它是无法直接感受到各向异性的大涡的，因此小尺度的涡可以认为是局部各向同性的，也就是说，能级串中各级传递特征相似，且由于此尺度范围内粘性几乎不起作用，因此传递速度相同，并等于最终的能量耗散率ε。

为了进一步的揭示湍流的奥秘，柯大侠紧接着使出了第二招，即第二相似性假设：对于尺度为G的流动结构，如果η<<G<<L（其中η为耗散尺度，L为宏观尺度），那么此尺度范围的涡不仅不受大尺度各向异性的涡的影响，也不受耗散尺度的涡的影响，而其含能仅取决于能量传递速率ε，与粘性也无关。

最后，柯大侠使出了一招平平无奇的量纲分析，在1941年提出了湍流世界最著名的-5/3幂律，并在众多学者的实验中得到了验证。当然随着湍流理论的不断发展，人们也发现了柯大侠的K41理论并非完美无缺，不过这并不妨碍它成为湍流研究史中最耀眼的一章。

柯大侠的理论不仅开启湍流理论研究的新篇章，也为后世使用LES和类LES方法求解湍流提供了理论依据。