从麻脸的高尔夫球谈起——流体中运动物体的阻力和升力

来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。

你可曾想到，现今世界上流行的各种球类运动中，高尔夫球的年龄最老，当有五六百年的历史。它最早流行于英国，在1457年苏格兰议会文件中就有高尔夫球一词，至1608年，另一说是1787年，英国成立了第一个高尔夫球俱乐部。1896年中国上海成立了高尔夫球俱乐部，其他球类如现在的足球开始于1863年，排球、篮球开始于19世纪末的美国，都是它的小弟弟。

其实，考证起来，高尔夫球的起源还要早。它起源于中国的捶丸，据元代成书的《丸经》的序中所述，捶丸大约成熟于北宋的宋徽宗当政时（1101年~1125年）。捶丸是“场上设窝，以杖击球，球子入窝为胜，胜则得筹”，现在的高尔夫球和捶丸有许多共同之点。中国的捶丸起于宋，盛于元、明，到清朝就渐渐没有人玩了。

图1 明朝杜堇所画的《仕女图》

目前，高尔夫球是相当普及的。全世界花在高尔夫球上的经费估计每年约有130亿美元，用在维护和开辟球场，生产球和击球杆以及相应的其他用品上。现在高尔夫球的打法是，根据规则连续击球，把球送入穴中。一场球需进18穴，大多高尔夫球场设18穴，有的球场只有9穴，则在一场内需进两遍，以击球次数少者为胜。现今高尔夫球重43.94g，直径4.27cm。标准的18穴球场长6500~7000码（每码合0.914m），穴间距离100~600码不等。由于穴的距离较大，为了以较少的击球次数取得优胜，还是要求有相当的击球技巧的。好的击球手，一次击球（一杆子）可以把球击出200多米远。

图2 高尔夫球员在击球

考查高尔夫球的历史，最早是用木制的，中国的捶丸的“丸”或“俅”是用木疙瘩制成。后来，西方改用皮革内充以羽毛来缝制，不过这种球有一个大缺点，就是当球被打入水中、或被露水粘湿时，重量变化很大。到1845年开始改用橡胶或塑胶压制而成的光滑圆球，这种球优点是不会因为被水湿了而大大加重，但是却又出现了一个大问题——这就是击球后，球飞行的距离大为缩短。

原来的皮革球，比较粗糙，飞行得较远。为什么表面光滑了，飞行反而近了呢？这里面大有学问，这也就是为什么现在的高尔夫球外面不是光滑的而是麻脸的原因吧。

图3 麻脸的高尔夫球

最早给出流体黏性摩阻实验探讨的是法国学者马略特 (Mariotte E, 1620~1684)，后来为适应造船工业的需要，法国组织了系统的关于流体阻力的实验研究。在理论上真正弄清楚这个问题，一直到19世纪的中叶，先后由法国的纳维 (1820) 和英国的斯托克斯 (1845) 导出了黏性流体的运动方程，人们才开始理解流体摩阻的存在。

不过流体作用在运动物体上的阻力还要复杂一些，除了上面的这种由流体的黏性引起的阻力外，还有一种由于流场改变所产生的阻力。而且在物体运动速度较快时，这种阻力会占阻力的大部分。原来当物体快速飞行时，在物体前面和后面产生了很大的压差，即前面的压力大，后面的压力小。

如图4，表示高尔夫球往左边飞行，周围带箭头的线表示球附近的空气分子的流动轨迹。图4(a) 表示球飞行速度慢，图4(b) 表示飞行的速度快。在图4(a) 上由于球的速度慢，所以球附近的流体分子基本上是贴着球面流动的，这时球所受的阻力基本上是由流体的黏性阻力组成。在图4(b) 上，由于球飞行得快了，在球的后面形成了对称的漩涡，在球附近的流体分子贴着球走一段后，就脱离球面，这种现象也称为边界层分离。边界层分离总是和漩涡同时产生的，我们知道在漩涡中心流体的压力是小的，这一点会游泳的人有很深的体会，游到漩涡边上，由于漩涡中心的压力小，人会被吸进漩涡中去，那是十分危险的。球后面是中心压力很小的漩涡，而球前面的压力是较大的，由于这个压力差，球就受一个很大的阻力。一般说来，球的飞行速度越大，边界层的分离就越早，在球的后面形成的漩涡区也就越大，这种压差所形成的阻力也越大。从根本上说，飞行的球之所以产生边界层分离的现象也是由于流体有黏性的缘故。

(a)

(b)

图4 飞行中的高尔夫球示意

光滑的球由于这种边界层分离得早，形成的前后压差阻力就很大，所以高尔夫球在由皮革改用塑胶后飞行距离便大大缩短了。为此人们不得不把高尔夫球做成麻脸的，即表面布满了圆形的小坑。

麻脸的高尔夫球有小坑，飞行时小坑附近产生了一些小的漩涡，由于这些小漩涡的吸力，高尔夫球表面附近的流体分子被漩涡吸引，边界层的分离点就推后许多。这时，在高尔夫球后面所形成的大漩涡区便比光滑的球所形成的漩涡区小很多，从而使得前后压差所形成的阻力大为减小。实际上，对光滑的高尔夫球，一杆子最多飞行数十米，而麻脸的高尔夫球一杆子可以飞行二百多米。可见高尔夫球麻脸的减阻效果是非常明显的。

图5 光滑与麻脸的高尔夫球飞行时的流场示意

说到这里，人们自然会问，把机翼、船体等在流体中前进的物体都做成麻脸的，是不是都可以减少阻力、节约能源呢？机翼和船体不可能像高尔夫球一样设计为球形的，在设计时必须采取其它的措施来减小阻力。实际上，机翼和船体在设计时，都已经考虑到减小边界层分离所形成的阻力，为了尽可能缩小机翼和船体后面的漩涡区，机翼和船体的剖面做成了前缘较钝而后缘较尖的翼剖面，即所谓流线型剖面。具有流线型剖面的物体前进时，边界层大致是在翼的后缘分离，漩涡区是很小的，所以阻力也是很小的。这时，光滑的翼面还有减小翼面附近黏性阻力的效果，这就是为什么在空气中高速前进的物体大都是翼剖面形的缘故。自然界里，大部分鱼的形状也是翼剖面形状的，高尔夫球的形状因为只能是球形的，没有其他选择，所以只有采用麻脸的方案是唯一的减少边界层分离所造成阻力的办法。

据说最早发现麻脸的高尔夫球飞得远的事实是苏格兰的一位教师，到1930年麻脸的高尔夫球就被接受作为正式的标准。

(a)

(b)

图6 旋转的高尔夫球

如果用你的右手食指表示物体飞行的方向，用中指表示物体旋转轴的方向（以逆时针为正），那么当你把食指、中指和拇指摆成互相呈直角的姿态时，你的拇指就表示物体受力的方向。按照这个办法，我们就可以很容易地确定旋转的飞行物体的受力。

前进中的旋转物体受一个垂直于前进方向的力，这种现象最早是上一世纪由德国物理学家马格努斯发现的，所以人们一直称它为马格努斯效应。当时并不是首先在高尔夫球的飞行中观察到的，而是在炮弹的飞行中观察到的，所以马格努斯效应起先在炮兵中是非常熟悉的。

上世纪，人们为了使炮弹在飞行时保持发射时的位相，为此在枪堂内增加了来复线，即一种螺旋形的刻槽，这样，枪弹离开枪膛后就形成一个绕枪堂为轴的高速旋转，由于高速旋转的物体有保持原有方向的性质，整个枪弹在飞行中便会保持原来的方向不变。可是这样一来就产生了一个附加的问题，当射击遇到侧面来的风时，炮弹除了受风的作用发生偏移外，还由于旋转和风的共同作用发生射程上的偏远或偏近。设子弹沿前进的方向作顺时针旋转，这时右边来的风加大射程，左边来的风缩短射程，就是由于这种风在炮弹上产生向上或向下的附加力作用的缘故。仔细观察，还会发现即使在无风的条件下，高速旋转的炮弹也会有向左或向右的偏移（视炮弹逆或顺时针旋转而定），这是因为炮弹在重力场作用下的下落相当于受到一个向上的风的作用。

利用上面所说的旋转物体受力的原理，在球类运动中会发展出许多技巧和花样。在乒乓球中有弧圈球、上旋球、侧旋球、下旋球的技巧；在网球中有削球的技巧；在高尔夫球中有所谓上击球和下击球的技巧；在排球中有发飘球和拐弯球的技巧；在足球中有所谓香蕉球，这是一种在空中拐弯的怪球，发角球的球员可以从角点发球直接将球射入对方的球门内。

图7 泰特像

前面说的当球旋转前进时所受的力，当我们的情形是图6(a) 时，其实就是升力，即一种使物体垂直向上的力。升力的发现是非常重要的，它其实构成了航空飞行的基础。就是说飞机的起飞，是基于运动的物体所受升力的原理来设计的。

作为飞机的机翼当然不能做成像前面所说的球形，也不能是圆柱形。因此，就要求研究一般的一个物体所受的升力问题。为了解决这个问题，人们建造了风洞，它是一种把物体支撑在风洞中不动，然后利用动力使风洞中流过适当速度的气流，在这种条件下去研究物体上所受的力。许多人通过对机翼模型在风洞中的大量实验，来选择阻力最小的翼型。最早从理论上解决的是对于任意横截面形状的柱体所受的升力问题，在20世纪初，俄罗斯力学家儒科夫斯基奠定了二维机翼的理论的基础，所谓二维机翼理论是设流体的流动每一点的速度都是与一个给定的平面平行的，还设被看作机翼的无限长柱体是垂直于这个平面的。他的结论是：任何横截面的柱形物体，设在密度为ρ 的流体中以速度U 前进，并且在它的周围存在着数量等于Γ 的环流，则在柱形物体的单位长度上的作用力等于ρUΓ。这是一个同实验结果相符合的理论结果，这个作用力的方向如同我们前面规定的右手法则，只不过环流的正方向应当取为顺时针为正。

所谓环流是取一根包围物体的闭曲线，把曲线分为小段，将曲线段上沿曲线切线方向的流体速度分量的平均值乘以曲线段的弧长，然后逐段相加，结果就是环流量。我们看到环流量的正方向正好和前面说的球的旋转方向相反。

好了，只有对于任意形状的物体的阻力和升力研究清楚了，我们才对在空气中运动物体的认识达到了自由，也正是伴随着这种认识上的自由，人们才不断取得把高尔夫球打得更远、会打各种拐弯前进的球、会使炮弹射得更准、会使飞机飞起来等的自由。

1903年，美国的莱特兄弟成功地完成了人类历史上第一次飞行试验，迄今100多年了，在这100多年的过程中，人们对飞机的每一次重大改进，大都和对升力阻力的研究密切相关。不过其中的奥妙，还是和高尔夫球为什么是麻脸的道理密切相关的。

迄今人们对在空气中运动物体的升力和阻力的认识还不能说是尽善尽美了，人们还是在为在各种速度下、在各种空气密度的条件下、在各种温度下飞行的物体减小阻力而奋斗，有关这方面的学问就是空气动力学。