含气泡的液体的声速为什么这么低？壅塞现象又怎么解释？
很多人都喜欢喝啤酒。啤酒刚打开的时候，由于压力突然降低，溶解在啤酒里面的二氧化碳形成了无数的小气泡（图1）。因此，刚打开的啤酒是一种含气泡的液体。
图1 啤酒中的气泡
含气泡的液体在生产生活中是非常普遍的。例如，锅炉中水沸腾形成含蒸汽气泡的水，阀门、喷嘴、螺旋桨的流动发生汽蚀时形成含蒸汽气泡的水，还有在石油工业的采输管线、油井和气井中也经常出现含有气泡的液体。
采用低温推进剂的液体火箭发动机中的管路，在正常工作的时候一般处于单相流动状态，但是在发动机预冷、起动过程中也存在含气泡的液体。例如在预冷过程中，低温推进剂与常温的管路接触发生沸腾，就会产生大量的气泡。
含气泡的液体具有一个奇特的性质，那就是其声速远远低于纯气体的声速和纯液体的声速。例如，我们知道一个大气压（1atm）、温度293K时空气的声速是343m/s，水的声速是1480m/s，但是，1atm、293K的空气气泡和水的混合物，当空气的体积分数（体积含量）为0.2时，其声速竟然低至25m/s，只有纯水的1/60，纯空气的1/14。
图2是1atm、293K时空气气泡和水的混合物的声速随空气体积分数的变化规律。圆圈和正方形离散点分别是频率1kHz和0.5kHz的声波的实验结果，三角形离散点是插值得到的频率为0的数据[1]（实际不存在频率为0的声波，这里是作为频率极低的声波的一个极限）。
可以看出，空气体积分数在很宽广的范围之内都对应着非常低的声速，最低值大约只有20m/s。只有当空气体积分数极其接近于0或极其接近于1的时候，声速才急剧升高，其实空气体积分数等于0就对应于纯水，而空气体积分数等于1就对应于纯空气。
图2 1atm、293K的空气气泡和水的混合物的声速
含气泡的液体的这种性质是不容易让人理解的。从人的直觉来说，两种物质的混合物的性质应该是介于这两种物质的性质之间的，比如说空气气泡和水的混合物的密度就是介于空气的密度和水的密度之间的。但是为什么声速却是违背直觉的呢？
要弄清这个问题，就必须理解声波在流体中传播的机理。当流体中的声源振动的时候，邻近的流体质点被推动，导致密度发生轻微变化，密度的变化又引起压力的轻微变化，压力的变化又导致更远的流体质点被推动，这样依此类推，声波就传播出去了。
通过一定的数学推导，可以得出流体的声速可以按照下面的公式计算（推导过程这里不详细叙述，感兴趣的读者可以阅读[2]或者有关的专著例如[3]）
式中dp/dρ是压力的微小变化和密度的微小变化的比值，打个比方，101325Pa、293K的空气，其密度是1.2048
，如果它受扰动后密度增大到1.2050
dp/dρ=(101348.5-101325)/(1.2050-1.2048)=117500
由此算出声速为343m/s。注意这个比值是流体本身的性质，与声波中实际的压力扰动幅度并没有关系，只要扰动幅度不是特别大就行。
这是因为，对于小幅声波来说，压力扰动和密度扰动的幅度都是很小的，所以可以利用小扰动线性化的思想将流体的状态方程在平衡点附近线性化处理，线性化处理之后，压力的微小变化就等于密度的微小变化乘以一个常数，所以压力的微小变化和密度的微小变化的比值与声波中实际的压力扰动幅度并没有关系。
看到这里读者可能会有一个疑问，那就是空气的压力不仅取决于密度，还取决于温度，上面这个例子中，并没有提到空气的温度变化，为什么空气密度从1.2048
这就需要对流体经过的热力学过程作一定的假设。这里我们是按照绝热过程来计算的（也就是说压力p和密度ρ之间满足关系式“p/ρk=常数”，其中k是比热比。
顺便说一下，如果k不是比热比，而是等于1，那么这个关系式就描述等温过程），最终得出的声速是343m/s，这个结果是与实际测量值吻合的。这是因为，声波在空气中传播的过程是绝热过程，状态变化过于迅速来不及换热。
现在我们运用公式（1）来研究声波在含气泡的液体中的传播速度。我们用一个空气-水混合物的例子来说明。假设空气的体积分数是0.5，即按体积计空气和水各占一半。
假定处于平衡状态时，压力是101325Pa，温度是293K。因此平衡状态时水的密度是998.24
0.5×998.24+ 0.5×1.2048= 499.72
假设我们对气液混合物进行压缩，让其压力增加到101348.5Pa，那么气体的密度增加到1.2050
(0.5 × 998.24 + 0.5 × 1.2048) / (0.5 × 998.24 ÷ 998.2400107 + 0.5 × 1.2048 ÷ 1.2050) = 499.7639
（注意压缩之后气体的体积分数不再是0.5，因此不能像压缩前那样计算混合物密度，而应该根据压缩前后质量守恒来进行计算）。
因此压力的微小变化和密度的微小变化的比值为
dp/dρ=(101348.5 - 101325) / (499.7639 - 499.72) = 535.3075
由此算出声速为23.14m/s。相信看到这里读者可以理解为什么含气泡的液体的声速如此之低了。原因就在于含气泡的液体同时具备了气体的易压缩性和液体的高密度。图3是同样的压力增量下，纯空气、纯水以及含气泡的水的密度变化情况示意图
图3 同样的压力增量下，纯空气、纯水以及含气泡的水的密度变化情况
以上的分析中，假定了含气泡的液体受到压缩时，气体和液体都经历绝热过程，其结果对应于图2中标有“绝热”的理论曲线。实际上，由于气泡分散在液体中，而液体的热容量很大，液体与气泡之间的热交换足以使得气泡中的空气温度大致恒定，所以声波在含气泡的液体中传播时，气体经历的热力过程更接近于等温过程。用这种假设算出的声速会更小一些，如图2中标有“等温”的理论曲线。从图2可以看出，“等温”的理论曲线确实比“绝热”的理论曲线更接近于实验点。
下面是一个视频。这是采用计算流体力学程序模拟的含空气气泡的水里面声波的传播过程。平衡状态的压力是107760Pa，温度是300K，水的体积分数是0.5。采用一维模型，声源位于x=5m处，通过放置一个周期性变化的动量源项来模拟声源，声源频率是50Hz。
含气泡的液体的这种性质与两相临界流动有着密切的关系。我们知道，当气体从收缩喷嘴喷出的时候，如果喷嘴下游压力与上游压力的比值小于临界压力比，就会出现壅塞现象，壅塞状态下喷嘴出口截面的流速等于当地声速。
这种现象是单相临界流动。如果将流体换成气液两相流，实验证实在一定条件下也会存在壅塞的现象，即两相临界流动现象，并且在大多数实际工况中，两相临界流动的临界流速会比相应工况下任一相的单相临界流速低得多[4]。这显然和含气泡的液体的声速远远低于纯气体的声速和纯液体的声速是有关系的。
当然，由于两相流动的复杂性，对于两相流动来说，临界流速和声速在数值上往往不相等，而且表现出错综复杂的关系。
作者：叶汉玉，仿真秀科普作者。
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