张弛振动：一类特殊的自激振动

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

自激振动里有一类形态特殊的振动，称为张弛振动。“张弛”二字来自儒家经典《礼记》：

“一张一弛，文武之道也”《礼记・杂记》

意思是：弓弦拉得太紧就要松弛一下，宽严相济，劳逸结合，才是周文王、周武王治国之道。振动现象之所以与张弛发生联系，是因为有一类振动是断续发生的，全过程就是“张”和“弛”两种状态的周期性交替。以瑞利方程描述的自激振动为例：

令y=dx/dt，消去时间微分dt ，化作变量 (x, y) 的一阶微分方程，用于确定相平面内的相轨迹：

这类方程所对应的极限环几何形状取决于非线性参数ε 的大小。若ε=0，则转化为线性保守系统的自由振动，振动规律为简谐振动，相轨迹是围绕原点的椭圆族。当ε 较小时，系统接近上述情况，相轨迹和波形与简谐振动相差不远，极限环的形状很接近椭圆，可称之为拟简谐振动。但随着ε 增大，极限环愈来愈歪扭，波形也愈来愈偏离简谐振动  (图1)。

图1 拟简谐振动向张弛振动的演变

为便于讨论非线性参数ε 足够大时的相轨迹，引入新的变量x=x/ε，将上式化作

当ε→ꝏ 时，(x, y) 相平面内除了零斜率等倾线上各点的斜率为零以外，向量场的所有其余各点的斜率都接近于无限大。因此极限环只能由零斜率等倾线的一部分和两条垂直线组成，而具有图2所示的形状。相应的坐标x 的波形为锯齿形，速度y 的波形接近于在某个确定的正值与负值之间周期性交替，即张与弛的周期性交替。这种完全不同于简谐振动的变化过程，就称为张弛振动 (Relaxation vibration)。

图2 张弛振动的极限环

从能量观点对拟简谐振动和张弛振动进行比较。当ε 足够小时，自激振动系统与保守系统很接近。保守系统的总机械能由动能和势能组成，在振动过程中能量在动能和势能两个储能器之间不断交换，表现为振动的简谐性。自激振动的波形也自然与正弦曲线接近。当ε 极大时，动力学方程中的惯性项可近似地忽略，系统总机械能中的动能部分也随之忽略。系统里只有一个势能储能器，因此自激振动过程被划分为两个独立阶段，即势能的持续储存阶段与突然释放阶段。整个过程是张与弛两种状态的交替，表现为断续的张弛振动。

张弛振动可通过一个简单模型直观地表现。将虹吸管嵌在漏斗的塞子中，水由水龙头持续地注入漏斗。以弯管下方开口处O为基准，设液面高度为y，弯管上方开口处P 的高度为y1，弯管最高处的高度为y2 (图 3)。水从水龙头匀速注入漏斗，水位以匀速v0 升高。当水位达到y2 高度时，弯管被水充满开始虹吸作用。P 点与液面的高度差y-y1 产生压强增量，迫使水经弯管由漏斗流出。如流出速度大于注入速度，漏斗内水位不断降低。流出速度随液面下降减小。液面降低至y1 时弯管内的水流尽，虹吸作用停止，漏斗又重新积水。储水和排水过程交替循环进行，在相平面 (y, dy/dt)  内形成图4所示的极限环，水量作锯齿形振荡（图5）。漏斗就是势能的单储能器，周期T 为储水时间T1 与排水时间T2 之和。

图3 张弛振动的原理模型

图4虹吸管的极限环

图5 虹吸管的张弛振动

再以干摩擦引起的自激振动为例。当平台速度v0 较小，滑块与平台粘着时，滑块随平台运动的动能固定不变，而弹簧势能不断增加，成为单储能器系统，振动具有张弛性。但当弹簧恢复力大于静摩擦力时，滑块跳脱平台作相对滑动，系统又成为双储能器系统，振动接近简谐性。因此，干摩擦自振的过程是简谐振动与张弛振动的综合。从图6可以看出，平台速度v0 较大时极限环与简谐振动相轨迹区别不大，自激振动的波形和频率均接近自由振动。小提琴同一根弦的拨奏（自由振动）和拉奏（自激振动）发出的音调基本相同就是明显的例子。平台速度v0 愈小，张弛阶段在相轨迹中的比例愈大，自激振动就更带有张弛性。用手捏住粉笔一端在黑板上画线，画出的不连续点线就是干摩擦激起的张弛振动。

图6 干摩擦自激振动的相轨迹

如果注意观察，周围世界中的张弛振动现象并不少见。比如抽水马桶的水箱出了故障，水一积满，阀门就自动开启放水的现象。再比如没关紧的水龙头，渗漏的水被表面张力形成的薄膜包裹而不断积累成水滴黏附在龙头上，当水滴的重量超出表面张力的黏着力时，即突然以不连续状态下落的过程 (图7)。盒装牛奶自小开口流出时也能观察到类似现象。在自然界中，利用图3中的虹吸管模型，可以解释间歇泉周期性喷发的壮观（图8）。考虑更大的时间尺度，地球板块之间的挤压所积蓄的能量在一瞬间爆发，引发一场大地震灾难，然后重新积蓄能量，酝酿下一次爆发，不也是一种典型的张弛振动吗？

图7 水龙头滴水

图8 冰岛的大间歇泉

原文注：改写自刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学(第三版). 第4章.  高等教育出版社，2010；刘延柱. 趣味振动力学，7.9节.  高等教育出版社，2012