弹性力学经典解法与有限元法的不同特点

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弹性力学的任务是研究弹性体在外力作用下而产生应力、应变和位移的规律。解弹性力学问题，必须考虑平衡微分方程、几何方程、物理方程和边界条件。问题归结为偏微分方程的边值问题。

以平面弹性力学问题为例，弹性力学的基本方程共8个：2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程。这8个基本方程中包含8个未知函数，即：2个位移分星，3个应变分量，3个应力分量。基本方程的数目等于未知函数的数目。弹性力学的任务，就是在适当的边界条件下，从基本方程中求解这些未知函数。

弹性力学问题的基本解法有三种，即按位移求解、按应力求解和混合求解。用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难，在于求解偏微分方程的复杂性。区域内各点的位移、应变、应力都是待求的，因此未知数有无穷多个。所求解满足弹性力学基本方程的位移函数、应变函数、应力函数的表达式要覆盖整个区域，而且还要满足边界条件。因此，求解这样的函数形式是十分困难的。

然而，有限元法是近40年来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的一种数位方法。它具有极大的通用性和灵活性，可以用来求解弹性力学中的各种复杂边界问题。

用有限元法分析弹性力学问题，首先是把原来连续的弹性体离散化。如图1，采用最简单的三角形单元对弹性体进行分割，形成一个如图1b所示的单元集合体。

图1 悬臂梁弹性体和有限元模型

对于每个三角形单元，可选择最简单的线性函数为位移模式，即分片插值的方法，单元中任一点的位移可通过3个结点的位移进行插值计算。因此，整个区域中无穷多个未知位移且可以用有限多个结点位移来表示。这样就避免求解涵盖整个区域的位移函数的困难。

用三角形单元的结点位移，可以表示单元中的应变、应力、结点力。将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解以结点位移为未知量的线性方程组。有限元法中求解这种线性方程组比弹性力学经典解法中求解偏微分方程要容易得多。