荡秋千与自激振动

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

秋千，这一传统的民间体育活动已在我国延续了两千多年（图1）。相传远在春秋时期，齐恒公北征山戎时将流行于北方民族的秋千带进了中原。汉武帝时后廷就有秋千戏，根据唐高无际《汉武帝后庭秋千赋》的记载：

“秋千者，千秋也。汉武祈千秋之寿，故后宫多秋千之乐。”

在民间，秋千已成为清明、端午等传统节日中必不可少的娱乐项目。正如杜甫在《秋千》诗中所云：

“十年蹴踘将雏远，万里秋千习俗同。”

秋千不仅限于汉族，也是朝鲜族、拉祜族等民族欢庆节日的竞赛活动，被全国少数民族运动会列为竞技体育项目。作为少年儿童喜爱的游戏，秋千更是中外儿童游乐场的必备设施。

图1 荡秋千

唐代诗人王建有一首《秋千词》。抄录如下：

长长系绳紫复碧，袅袅横枝高百尺。

少男少女重秋千，盘中结带分两边。

身轻裙薄易生力，双手向空如鸟翼。

下来立定重系衣，复畏斜风高不得。

旁人送上那足贵，终睹鸣珰斗身起。

回回若与高树齐，头上宝钗从堕地。

眼前争胜难为休，足踏平地看始愁。

王建的《秋千词》不仅生动地刻画了荡秋千少女的可爱形象，而且科学地阐明了荡秋千的力学特征。说明荡秋千人可由自己“生力”而“斗身起”。不须“旁人送上”，秋千也能越荡越高。理工科学生都学过理论力学课程，懂得振动有自由振动与受迫振动之分。将秋千看成一个单摆，没人推动而自己能摆起来，既不是自由振动又不是受迫振动，那属于什么振动？

仔细看一下荡秋千的过程：刚踏上踏板，秋千可能会微微摆动。荡秋千人控制住自己的下肢，努力做高处屈膝下蹲，低处挺身直立的动作，秋千就会越荡越高。这种依靠荡秋千人自己的协调动作激起来的振动称为自激振动。理论力学课程一般只讲授“线性振动”。自激振动不在线性振动范围内，也就没法解释荡秋千运动了。实际上自激振动在日常生活里随处可见，随便举几个例子：

• 树叶在微风中摇摆；

  
  

• 独轮车的车轴吱吱响；

  
  

• 钟摆不衰减的等幅摆动；

  
  

• 足球裁判吹哨和号兵吹号；

  
  

• 动物发声和人类说话；

  
  

• 演奏小提琴和手风琴。

这些常见现象都是自激振动。自激振动的确切定义是：系统受恒定的能源补充，以运动状态作为调节器控制能量的输入，使输入的能量具有交变性所产生的振动。

自激振动系统由三部分构成（图2）：

• 耗散的振动系统；

  
  

• 恒定的能源；

  
  

• 受系统运动状态反馈的调节器。

图2 自激振动系统的框图

先看两个简单的自激振动例子：

图3 电铃

2. 蒸汽机

活塞、连杆和飞轮组成振动系统，锅炉供应的蒸汽为恒定能源，配气阀为调节器。蒸汽推动活塞，通过连杆带动飞轮转动，同时使配气阀移动以改变进气方向，使蒸汽朝相反方向推动活塞。活塞在往复推动下的运动带动飞轮作持久的振动（图4）。

图4 蒸汽机

相平面方法是描述单自由度系统运动状态（即位移x 和速度v）的一种直观方法。以x 为横坐标，v 为纵坐标y 的坐标平面称为相平面。相平面上的每个点与系统的运动状态相对应，称为相点。在系统的运动过程中，相点描绘出来的轨迹称为相轨迹。周期运动的相轨迹为封闭轨迹。保守系统自由振动的相轨迹是围绕原点的椭圆族，不同的初始状态对应于不同振幅的椭圆（图5）。自激振动也是周期运动，其相轨迹也是围绕原点的封闭曲线，但与自由振动不同，自激振动只有一条唯一的封闭相轨迹，称为极限环。

图5 保守系统自由振动的相轨迹

回到荡秋千问题。秋千和人组成振动系统。在摆动过程中，重力与系绳拉力的合力对秋千做功。由于存在离心惯性力，系绳的拉力大于重力。而低处的摆动速度和离心惯性力均大于高处，因此在低处直体使摆长缩短，高处下蹲使摆长增加，则拉力和重力的正功必大于负功，使秋千越荡越高。当增加的能量与消耗的能量相等时，就能维持等辐的周期摆动。因此恒定的能量来源于人和重力，人也起了调节器的作用。用相平面方法表达荡秋千的过程，相轨迹从静止状态的原点出发，沿螺旋线向极限环趋近，然后停留在极限环维持周期运动，称为稳定的极限环（图6）。

图6 稳定极限环

如果荡秋千人在秋千上反其道而行之，在高处挺身直立，低处屈膝下蹲，则拉力的负功大于正功，秋千必越荡越低，乃至最后停止不动。其相轨迹的走向相反，相点从极限环沿螺旋线向原点趋近，称为不稳定极限环（图7）。这一现象在现代航天技术中可用于消除绳系卫星的振荡。绳系卫星是用细绳联系母星和子星组成的航天器。当母星在确定的轨道中运动时，子星从母星释放以后作类似于单摆的不衰减的自由摆动（图8）。按上述规律控制系绳的长度可使振荡得到抑制，最终停留在指向地心的稳定位置。

图7 不稳定极限环

图8 绳系卫星

再以树叶在微风中的摆动为例。因为有风的持续推动，不可能是自由振动。平缓的风力并非周期变化，也不是受迫振动。仔细观察树叶的摆动过程，当微风吹向迎风而立的树叶时，风对叶片的推动使枝条弯曲，改变了叶片的迎风角度。一部分气流沿叶片滑过，减弱了风对叶片的正压力。于是枝条的弹性恢复力使叶片回归原处使风的压力增大。如此重复不断，就导致树叶的自激振动。其中风是恒定能源，叶片自身的运动控制了风对叶片的作用，起控制器作用。

生活中有许多与树叶随风摆动类似的自激振动现象。居住在云南的布依族青年将新鲜树叶夹在唇间能吹出清脆动听的笛声。这种称为叶笛的天然乐器就是各种管乐器的雏形。木管乐器的发声来自簧片的自激振动，铜管乐器的发声来自嘴唇的自激振动，它们的发声原理和叶笛相同。区别在于簧片或嘴唇产生的声波能激起管道内的气流和管壁的振动，使声音更为宏亮，音色更为丰富。实际上人和动物的发声就是气流通过声带时造成声带的自激振动。

谈到了音乐，不妨将交响乐队所有乐器的振动类型作一下分类：

• 自由振动：钢琴、竖琴、木琴、所有的打击乐器和弹拨乐器。

  
  

• 自激振动：管风琴、所有的木管和铜管乐器、所有的弦乐器。

可见大型交响乐的演奏过程就是各种乐器的自由振动或自激振动过程。

物理过程与此类似的自激振动在工程技术中时有发生。风载对悬索桥、斜拉桥和高层建筑产生的振动可导致灾难性后果。1940年，美国塔可玛 (Tacoma) 桥因风载导致的自激振动而倒塌就是典型的案例（图9）。此后桥梁和高层建筑设计中防止风致自激振动的技术问题被提到了重要位置。被冰层覆盖的输电线在水平阵风作用下产生强烈的上下抖动可导致严重事故。飞机机翼可由于空气动力与蒙皮弹性变形的耦合而产生颤振。燃气流作用下的涡轮机叶片也能发生类似的自激振动。

图9 塔可玛桥因自激振动倒塌

自激振动是生活中和工程中常见的物理现象，但未在理论力学或线性振动课程里讲授。关于自激振动更多的丰富内容，如干摩擦振动、机械钟的摆动、流体管道的振动等现象的原理将在另文中叙述。

作者注：文章改写自：

刘延柱. 再谈荡秋千－兼谈自激振动. 力学与实践，2007，29(3): 92-83

刘延柱. 曾逐东风拂舞筵－再谈自激振动. 力学与实践，2007，29(6)：87-88

刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版），高等教育出版社，2018：3.7节