神学 · 流变学 · 爱因斯坦

来源：郑融科学网博客，作者：郑融。

一、“神学”

友人来访，在书房里闲聊。

“嗳，什么是工程神学？”他突然莫名其妙地问了一句。

工程神学？我被他问糊涂了，老实回答不晓得。

他的目光越过我的肩膀，注视着我身后的什么地方。我回过头去，看看身后书架，恍然大悟。

“你是说这个吧？”我从书架上取下一本Roger Tanner 写的“Engineering Rheology”，递给他说，“这是工程流变学呀。”

流变学 (Rheology) 和神学 (Theology) 只差一个英文字母。

我安慰他说，很多人都曾搞错的。有一个叫Markus Reiner[1]的学者，是流变学的奠基人之一，他就说过经常会收到一些信件，信封上写的收信人的地址是“神学实验室”；他甚至还收到邀请信，请他参加国际神学研讨会。

二、“流变学”命名记

Rheology 这个词是怎么来的？这就要从1927年谈起了。当时，这个Reiner先生是巴勒斯坦的土木工程师，应美国化学家Eugene C. Bingham 的邀请到美国和Bingham 合作一项研究，在工作中，他们发现双方有那么多的共同感兴趣的问题，不约而同地感觉到，应该有一个介于力学、化学和工程科学之间的交叉学科。

“你，一个土木工程师，而我，一个化学家，我们合作解决共同的问题。随着胶体化学的迅速发展，这种情况会越来越普遍的。”Bingham说，“要建立一个物理分支来处理这类问题才好。”

Reiner说，有一个分支叫做连续介质力学。

“不行，”Bingham说，“那会吓跑化学家。”

他们请教了一位语言学家。凡是语言学家，都是言必称希腊的，这位语言学家创造了“Rheology”这个新词，就是来源于古希腊哲学家赫拉克利特（公元前540～公元 前475年）的名言：“万物皆流。”“Rheo”在希腊语里是流动的意思。

1929年4月29日，来自不同领域的一批杰出的科学家和工程师聚集在美国俄亥俄州首府哥伦布市，成立了流变学会，把流变学正式定义为研究材料的流动和形变的科学。这一天，就算是流变学这个混血儿呱呱坠地的生日了。

三、群山在上帝面前流动──流变学看世界

早在十七世纪，虎克已经阐述了弹性固体应力和应变的线性关系，牛顿已经阐述了黏性流体和应变率的线性关系。不过，我们与其把它们看作定律，不如把它们分别看作某一类材料的定义。定律必须是客观的，定义可以是主观的。也就是说，不管符合所描述的规律的固体或流体是否存在，都不妨碍我们定义它。

符合上述定义的固体和流体，被分别称为虎克固体和牛顿流体。流变学不掠人之美，通常不研究这两种材料，而研究“非牛顿流体”。你到厨房去，打破一个生鸡蛋，观察蛋清的流动行为，就会发现蛋清既有些粘性，又带些弹性，这是一类非牛顿流体，又叫黏弹性流体。工业中各类悬浮液、塑料熔体、橡胶、油漆、涂料等，生物流体中的关节润滑液、细胞液、血液等，都是非牛顿流体。在自然界，可以说，非牛顿流体普遍存在，虎克固体和牛顿流体仅在一定条件下才存在。

从流变学的观点来看，固体和流体的区分已失去其绝对性，流变学以“万物皆流”作为自己的标志就说明了这一点。许多流变学教科书和杂志都引用了旧约圣经记载的女先知底波拉 (Deborah) 的一句歌词：“群山在上帝面前流动……”（中文合本和英文新国际本均写作“震动”，某些版本写作“熔融”）。这不表明流变学真的和神学有什么联系，而是借助这句歌词来阐述这样一个思想：山在上帝面前流动，而不是在人面前流动，就是说如果你的观察时间足够长，或者说，如果材料的松弛时间相对于你的观察时间来说非常短，那么你将观察到材料的流动。反之，你看到的材料则呈现“风雨不动安如山”的固体状态。

换句话说，流变学里的材料是“因时而异”的。这里的“时”有两个，一个是材料本身的特征时间，另一个是观察流动变形过程的特征时间，这两个时间的比值，叫做“底波拉数”(底波拉，就是圣经里那位女先知)。前面提到的黏弹性流体，究竟是更多地表现为弹性，还是表现为黏性，就看在具体过程中底波拉数的大小了。

四、从微观到宏观

在传统的固体力学和流体力学中，本构关系已经被定义好了，不成问题了。然而，本构方程却是流变学的中心问题。

研究材料本构关系有两种方法：连续介质力学方法和微观结构模型（或称分子模型）方法。连续介质力学的方法只能以“唯象”的方式反映宏观尺度上所观测到的物理现象，但复杂流体系统中，宏观流动特性是由流体本身的微观结构所决定，这些微观结构可以是最细节的分子结构，也可以是结晶、悬浮物、不互溶的混合物以及填充物等不同层次的特征结构。微观结构模型（或称分子模型）的方法成为近年来流变学领域的发展方向。

微观结构模型方法的基本思路是，首先构建一个代表微观结构的力学模型，再通过对微观结构的力学分析，写出运动方程，并与构型分布方程结合写出扩散方程，解扩散方程得到构型概率分布函数，然后通过统计方法得到流体的平均应力，这样，原则上可以得到表达宏观应力应变关系的本构方程。

五、爱因斯坦

微观结构模型方法的最早的尝试，可追溯到二十世纪初爱因斯坦关于糖水的研究。

1905年被称为爱因斯坦的“奇迹年”。在这一年里他不仅写了两篇引起时空观念革命的狭义相对论的论文，一篇后来让他获得诺贝尔奖的光量子以及光电效应的论文，还写了一篇有关糖水的博士论文和另一篇与此相关的分析布朗运动的论文[2] 。

那篇糖水博士论文，题目是《分子大小的新测定》。这项研究有深刻的科学史背景。当时，物质是否由分子和原子组成，还处在争议之中，原子和分子论只不过是一个看起来说得通的假定，并未被科学界完全接受。爱因斯坦为了帮助明确微观结构的概念，就研究如何从假设的微观结构推论出可测的宏观物理性质。如果理论预测的结果和实验直接测量的结果能够符合，那么假设的微观结构就有更多的真实性。

流体的一个重要的宏观物理性质是其黏滞系数，或称黏度。向水里加糖，黏度会增加，这个现象给爱因斯坦一个启发，是否可以利用经典流体动力学，计算出溶质分子的大小和数目对溶液黏度的影响呢？他的基本假设是，分散在水中的糖分子体积远大于水分子的体积，因此糖分子可以简化为悬浮在水中的刚性球形颗粒来处理，水则可以被近似为连续介质。同时，还假设这些颗粒的惯性可以忽略不计，它们彼此没有干扰等等。通过流体动力学的分析，爱因斯坦得到了溶液黏度对溶质分子大小和每单位溶液体积中溶质分子数目的依赖关系。应用这个结果，再辅以一个扩散方程，便可以从已知的糖溶液和水溶剂的黏度，推算出糖分子的大小和Avogadro常数来。这个扩散方程，应用了关于球体在粘性介质中运动阻力的Stokes定律，现代的流变学著作通常称之为Stokes-Einstein方程。

第一个方程的推导是论文中技巧最复杂的部分，可是推导中出了点错，使得最终结果有一个系数不正确。爱因斯坦自己没察觉，苏黎世大学的评阅人也没发现，于是爱因斯坦先生如愿地成了爱因斯坦博士。

这个有错误的公式发表在1906年第19卷的Annualen der Physik上，刚开始并没有引起广泛的关注。1909年，爱因斯坦向法国物理学家Jean Baptiste Perrin建议把这个方法用于悬浮液问题的研究。后来，Perrin的学生Jacques Bancelin 写信给爱因斯坦，说自己的实验结果并不完全符合爱因斯坦的理论推算。这意味着，以下几种可能发生的错误，至少有一种发生了：

刚性球形颗粒悬浮液模型不足以描述糖溶液真实的微观结构。

从微观结构模型到宏观材料特性的推导过程存在逻辑（数学）错误。

实验有错误，或者实验的条件超出了理论的适用范围。

爱因斯坦首先自己重新检查了推导过程，但没有发现问题，于是又请自己的前学生、当时的合作者Ludwig Hopf 帮助再检查。结果Hopf发现了爱因斯坦原文中速度梯度计算中的一个错误。爱因斯坦在1911年第34卷Annualen der Physik上发表了仅有两页纸纠错文章，并用纠正后的公式重新计算了Avogadro常数，得到6.56×1023/mol，这个值很接近目前公认的6.02×1023/mol。

怎么？爱因斯坦也会出错？当然会，因为他是科学家，不是上帝。科学本来就是沿著“实际问题—理论模型—实验检验—修改或推翻模型—再检验”这么一条路径走过来的。

六、简评

爱因斯坦博士论文审稿人Alfred Kleiner评论说，这篇论文“做了流体动力学中最困难的论证和计算。”

爱因斯坦的朋友和传记作者、物理学家Abraham Pais[3]在“Subtle Is the Lord: The Science And the Life of Albert Einstein”一书中评价爱因斯坦的这篇论文说：“不难发现，这篇研究颗粒悬浮液总体流变性质的论文，有不同凡响的广泛的实际应用。”

爱因斯坦的另一个传记作家Walter Isaacson[4]说，爱因斯坦这篇论文，是迄今为止他的著作中被引用最多的一篇。

对流变学来说，爱因斯坦的主要贡献是打开一条从微观结构模型出发建立本构方程的思路，至于爱因斯坦的模型本身，应用范围是很有限的，因为：

它预言，如果一些刚性球形微粒悬浮在液体中，那么，液体黏度增加的比率正好等于小球体积浓度的2.5倍。可是，除了浓度小于0.02的稀悬浮液以外，这个预言总是和实验不一致。这是因为，浓度稍大些以后，“悬浮微粒不影响彼此的运动”的假设就不成立了。

从刚性小球悬浮液模型推导出的宏观性质是各向同性的，而流变学所关心的许多材料却是各向异性的。例如短纤维悬浮液，必须考虑柱形的或椭球形的悬浮颗粒模型[5] 。更复杂些，象高分子溶液这种黏弹性流体，最简单也要构建一个由弹簧连接两球在粘性介质中运动的力学模型[6]。

有一个事实是很有些哲学意义的，这就是，对黏弹性流体从微观结构模型得到的方程和用连续介质方法所得到的方程形式形同。这让人相信，自然规律是客观存在的，这些“方程”本来就隐藏在大自然的背后，科学家可以通过不同的途径把它们找出来，而不是造出来。

参考文献：

[1] M. Reiner, The Deborah number, Physics Today, 62,Jan. 1964.

[2] Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Ed. R. Furth, Transl. A.D. Cowper, Dover, N.Y., 1956.

[3] Abraham Pais , Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford Univ. Press, N.Y. , 2005.

[4] Walter Isaacson, Einstein: His Life and Universe, Simon & Schuster, N.Y. 2007.

[5] N. Phan-Thien and R. Zheng , “Macroscopic modelling of the evolution of fibre orientation during flow”, in Flow-induced Alignment in Composite materials,  Chapter 3.  Eds. T.D. Papathanasiou and D.C. Guell,  Woodhead, Cambridge England, 1997.

[6] R.I. Tanner, Engineering Rheology, 2nd Edition, Oxford Univ. Press, N.Y. , 2000.