流体力学之“还好遇见你”
以下文章来源于LBM与流体力学 ，作者卢比与钢蛋
如果没有遇见你
我将会是在哪里
日子过得怎么样
人生是否要珍惜
听着邓丽君轻轻的吟唱《我只在乎你》，我们不禁感慨，人生或许就是因为遇见才成就了美好。而回首近代流体力学的历史，雷诺平均的N-S方程和布辛涅司克的涡粘性假设大概便是最好的遇见，它不仅在数学层面上打开了N-S方程求解湍流的困局，更是引导后来的普朗特成为了一代流体力学大师。
01故事的引子
不过有趣的是，我们课本上记载的涡粘性假设是布辛涅司克在1872年提出来的，即湍流脉动引起的应力可以描述成一个涡粘性系数乘以速度梯度，但是直到23年后的1895年，雷诺平均的N-S方程才被正式提出，而由湍流脉动引起的雷诺应力也是在那时才被人们所熟知。
当我们在感慨命运在冥冥之中的安排时，也不禁要问，难道是布辛涅司克穿越回去，提出涡粘性假设，然后等待雷诺的出现吗？而这一切似乎又要从流体力学的“白月光”——N-S方程说起。
02那么亮，却那么冰凉
还记得我们在前面的文章中为大家详细介绍了N-S方程的诞生历程。1845年，彼时的后浪斯托克斯借力前人，提出了流体力学中最著名的N-S方程。在这个过程中，我们记住了欧拉、纳维、柯西和斯托克斯，其中的两位法国科学家纳维和柯西的名字甚至被镌刻在了埃菲尔铁塔上供世人瞻仰。而N-S方程也恰如那天边皎洁的白月光一般，令无数流体人神往。
但N-S方程太过复杂，在当时也无法被验证其是否能够完全描述粘性流体的运动，在很长一段时间内，N-S方程只在低速的泊肃叶流动（粘性流体在圆管道中的流动）中得到了验证。
可是随着流速的增加，流动状态变成了一种完全混乱的不稳定状态，当时的人们还不知道这种流态就是“湍流”。由于N-S方程的复杂性，再加上人们对于湍流的认知并不清晰，因而N-S方程在很长一段时间内并没有得到大家的认可，甚至一度被怀疑是不是少了某些项，所以无法描述湍流。而布辛涅司克便是其中一位质疑者。
03少年布辛涅司克之成长
在N-S方程和流体力学研究如火如荼的时候，布辛涅司克还是一个只会玩泥巴的快乐小男孩。1842年3月13日，约瑟夫·瓦伦丁·布辛涅司克（Joseph Valentin Boussinesq）出生于法国南部蒙彼利埃和洛德夫之间的埃罗小镇。布辛涅司克的父亲是一个农夫，而母亲是一个实业家的女儿。
19世纪中叶，正值法国工业化革命的开始，整个社会都在剧烈的变化。由于家庭条件比较殷实，布辛涅司克的父母希望他能够接受更多的教育，但是当时的学校并不是义务教育，所以他的小学和中学都是在做牧师的叔叔支持下完成的。
布辛涅司克的叔叔很欣赏侄子的才华，在叔叔的帮助下，布辛涅司克最终来到蒙彼利埃就读大学。19岁那年，他在蒙彼利埃科学学院获得了数学学士学位。不过毕业后，父亲希望他能够回家接管他们的家族农场。但是所幸，布辛涅司克拒绝了，否则世界上只是多了一个蹩脚的农场主，而少了一个流体力学的大师。
04神奇的忘年之交
凭借自己的数学学位，布辛涅司克毕业后开始在法国南部的不同城市任教，在此期间，布辛涅司克发表了他的第一篇学术论文《关于水射流冲击弹性板的线弹性问题》，并得到了法国科学院的关注，尤其是年近七旬的数学家圣-维南特非常欣赏布辛涅司克的才华。
从那时起，圣-维南特成为布辛涅司克最有力的支持者，并开始与布辛涅司克通信，鼓励布辛涅司克将更多的精力投身到学术之中。1872年，法国科学院授予布辛涅司克庞塞莱奖，在圣维南特的建议下，布西内斯克还获得了物理学学士学位。1873年，布辛涅司克被任命为里尔理学院的教授。
提起圣-维南特便不得不说他被世人忽略的一个重大贡献，在斯托克斯正式提出N-S方程前两年，也就是1843年，法国数学家圣-维南特就在公开发表的文章中推导了一种描述粘性流体运动的方程。可惜，N-S方程中却没有圣-维南特的名字。
05都是湍流惹的祸
或许是因为恩师的遗憾，布辛涅司克一直对N-S方程又爱又恨。当然，也因为当时的人们无法把N-S方程和高速混乱的流动划等号，于是布辛涅司克大胆的认为N-S方程的描述可能是不完整的，或者方程中缺少了一些变量，而这些变量只出现在足够快的流动中。不过，布辛涅司克的推测也非空穴来风，他仔细的研读了巴津（Henri-Emile Bazin）的文章。
巴津被誉为那个时代最精确的实验者之一，在亨利达西的基础上，巴津继续水力学的实验研究，使用达西改进的皮托管详细测量了水流中的速度和压力，并留下了影响深远的论文《运河中水流的实验研究》和《涡旋与波传播相关的实验研究》。
通过对巴津的测试数据进行详细的分析，布辛涅司克敏锐的发现，对于某种高速混乱的流动（也就是我们后来熟知的湍流），流动速度存在明显的脉动。于是，布辛涅司克想到了在平均流动基础上通过加速度来分析湍流的脉动对流动的影响。
1872年，布辛涅司克受法国科学院的邀请，做了一场相关的学术报告，因此，科学界也常将1872年称为涡粘性假设诞生的元年。
06与雷诺应力失之交臂
1877年，布辛涅司克在公开发表的文献中对之前的工作做了更加全面的总结：他假设流动中存在一个平均流动是固定不变的，可以定义为一个很短时间内的平均速度。他进一步的假定三个方向的真实（瞬时）速度是不相关的，那么对于某一个流体微团，可以推导出它的平均加速度。
布辛涅司克的推导过程如下图所示，过程中假定了真实速度和速度梯度乘积的平均值等于二者平均值的乘积。在今天看来，这个假设当然是有问题的——根据时均运算的性质，其在数学上行不通。另外，布辛涅司克推导时把等式后边本应是偏微分的项，写成了全微分，也反映了当时的数学方法并不像今天一样严谨完备。
聪明的布辛涅司克显然也意识到了上述假设的毛病，甚至找到了一个反例来进行自我批评：比如一个流体微团真实速度和速度梯度在此刻都为正，而下一时刻都为负，则两者平均值的乘积将很可能不等于其乘积的平均值。不过他又在文章中写了一句更“假设”的话：“这种情况很少发生，几乎可以忽略不计。”
或许就是这样的“一叶障目，不见泰山”吧，今天的我们都能轻易看出来的错误，就这样蒙蔽了布辛涅司克的双眼。于是，布辛涅司克推导出来的平均加速度缺少了真正的脉动项，这也让他在后续的推导中和雷诺应力失之交臂。
07最早的湍流粘性假设
不过紧接着，布辛涅司克便提出了更重要的思想，湍流中流体微团的受力可以分解为法向分量N1、N2和N3，以及切向分量T1、T2和T3。如下图所示，通过一种类似于动力学理论中的方法，布辛涅司克进行了泰勒级数的展开，并获得了流体微团在法向和切向的受力。式中出现了新的参数ε，那便是最早的涡粘性系数。
在布辛涅司克的文章中，他进一步的指出，针对高速混乱的流动，他推导的流体微团受力的平均表达式仍服从N-S方程。但是，其中粘度系数被一个更大的数字代替，表示为ε，而且ε不再是一个常数，而是取决于“流动的搅拌程度”。
布辛涅司克甚至为ε提出了一个表达式：
布辛涅司克提出的湍流粘度理论为他带来了极大的声望，也奠定了他在流体力学中的地位。1877年，布辛涅司克的恩师圣-维南特还单独发表了文章介绍了布辛涅司克的贡献，并称布辛涅司克解决了一个“真正的谜”。那时的布辛涅司克也认为自己已经解决了湍流的问题，他没有意识到他在N-S方程进行时间平均时的错误，也忽视了他在进行动力学类比时做的强假设。
1936年，法国科学院院长埃米尔·皮卡尔（Emile Picard）在提及布辛涅司克的成果时，也曾经表示过：“由于布辛涅司克的缘故，N-S方程仍然有效，这是一个了不起的结果，可惜引入的不是真正的脉动速度，而是时均速度。”
08教科书般的实验
虽然布辛涅司克在对N-S方程进行时间平均时的错误假设很快便被人们发现，但他的湍流粘性假设思想却一直引导着后来的流体工作者。
时间转眼来到了1883年，这大概是湍流历史上最值得铭记的年份之一，与布辛涅司克同岁的雷诺，在这一年通过经典的水流色实验向人们揭示了流动状态的秘密。整个实验如教科书一般严谨细致，雷诺仔细研究了所有可能影响流动状态的参数：流动的速度、尺度、密度和粘度，甚至是扰动。
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。今天看来，雷诺实验本身或许便是雷诺和布辛涅司克在学术上的最大差异，布辛涅司克是通过巴津的实验数据来观察湍流，而雷诺则是亲力亲为的实验。直观的湍流实验带给雷诺的体验和震撼完全不同，这或许便是后来雷诺采用了类似的平均方法，但通过更严格的推导，成功的引入应力张量的原因吧。
09还好遇见你
后面的故事，相信大家都已经耳熟能详了，1895年，雷诺将湍流运动分解成了平均速度和脉动速度带入N-S方程，并推导出了雷诺平均的N-S方程，其中最重要的便是湍流脉动引起的雷诺应力。而恰好布辛涅司克在二十年前已经给出了湍流粘度系数假设的思想，于是两者的相遇便为N-S方程求解湍流打开了一扇新的大门，直至今日。
那么这朵幸运的小红花又是如何飘落到雷诺头上的呢？敬请期待《雷诺眼中的湍流》。
