一篇文章入门时域有限差分方法（FDTD）

本文摘要（由AI生成）：

文章主要介绍了时域有限差分（FDTD）方法，这是一种求解Maxwell方程的方法，通过将求解空间离散成笛卡尔坐标上的长方体网状结构，对电磁场问题进行模拟。FDTD方法具有广泛的适用性，但计算量巨大，导致其应用发展缓慢。随着计算机硬件的快速发展，FDTD方法可用于计算量大的实际工程。文章还介绍了FDTD方法的数学基础理论知识，包括梯度、散度、旋度、麦克斯韦方程等。最后，文章介绍了FDTD软件的一些开源和商用软件。

时域有限差分（Finite Difference Time Domain简称FDTD）由美籍华人Yee于1966年提出，是求解Maxwell方程的一种方法，其核心思想是将求解空间离散成笛卡尔坐标上的长方体网状结构，其中每个点赋值电场和磁场，随着时间变化每个点以蛙跳形式交替更新电场和磁场，从本质上讲，FDTD是对电磁场问题的最原始最完善的模拟，具有非常广泛的适用性。

不同于有限元方法，该方法只需要对求解空间划分结构化网格，不需要对对象划分网格，不需要求解线性方程组，不需要复杂导出方程，适合计算程序实现，非常容易应用并行计算。但由于FDTD计算量巨大，导致其方法提出后应用发展缓慢，最近一二十年，由于计算机硬件快速发展，尤其是多核多线程，GPU计算，分布式计算应用，使得FDTD可用于计算量大的实际工程。Navida 的CUDA计算案例里甚至有专门针对FDTD的例子。

之前简单介绍了计算电磁学，这里首先介绍一下数学基础理论知识。

基础介绍

在积分微分公式中我们经常看到倒三角符号 ▽，叫做哈密顿算子，这是一个常用算子，读作del，表示在空间xyz各方向上的全微分，另一个是  ▽·▽=▽²=△，△称为拉普拉斯算子。

梯度: ▽u

散度: ▽·A   

旋度: ▽×A  

电磁场本构方程为麦克斯韦方程

以上四个方程构成了麦克斯韦方程组。

其中E为电场强度，H为磁感应强度，B为磁通量密度，J为电流密度。

通常说的磁生电，电生磁，麦克斯韦方程准确描述为：

1.电场的散度跟这点的电荷密度成正比；

2.感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率；

3.磁场的散度处处为0；

4.感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和

FDTD的Cell（元胞）结构

FDTD的核心思想是将求解空间离散成笛卡尔坐标上的长方体网状结构，下图（图3）是网状结构中的一个单元，一个非常典型的三维Yee元胞结构，又叫Yee网格。

FDTD的Cell

1.靠近远点的坐标为i，j，k，对角坐标则为i 1，j 1，k 1。

2.在这个长方体上，我们将其分为八个等分长方体，长方体的每条边的中点存放磁场分量，面上的中点存放电场分量。当到下一个长方体时，则反过来：边的中点存放电场分量，面的中点存放磁场分量，以此类推。由上图可以看到：每一个电场矢量都被四个磁场矢量环绕；每个磁场矢量被四个电场所环绕，类似磁场的旋度。

3.FDTD算法在离散的时间瞬间取样和计算场值，电场和磁场取样计算并不在同一时刻。对时间步长t，电场取样时间为0,1t,2t,3t，磁场取样时刻为0.5t,1.5t,2.5t,3.5t，两者之间相差半个时间步长。

4.对于求解区域内不同介质的对象（介电常数，磁导率，电导率等），也分布在FDTD的整个网格节点上。

从以上描述可知，FDTD是一种在时间上迭代的差分方法，在给定的时间上，更新网格节点上电场，磁场，不需要对对象划分网格，也不需要求解线性方程组。

几个核心问题：

1. 如何确定网格大小；

2. 如何确定迭代时间步长；

3. 边界条件如何设置；

4. 如何设置激励

1. 如何确定网格大小；

FDTD的网格，我们通常用Grid，表示是对空间的离散，而非对物体本身的离散，对空间划分网格比划分物体几何要简单，这是差分法和有限元法最显著的一个区别。FDTD差分格式所能模拟的最小尺寸为一个网格，对于小于一个网格的尺寸，需要近似成一个网格，但是存在的问题是在细小几何，比如圆孔，曲面曲线，缝隙等结构物体时，计算误差会比较大，如果全体加密网格，网格单元数和计算量也会快速增加。通常的办法是在这些细小几何的地方，采用局部加密的方式，如图1所示。

通常情况下，FDTD离散网格的大小和波长有关，应满足条件网格尺寸小于计算区域内最小波长的0.1倍。网格加密尺寸需要更加几何和波长动态确定。

2. 如何确定迭代时间步长；

利用波矢量和频率的色散关系，可以求出空间和时间间隔之间应该满足的关系，该关系称为Courant稳定性条件。对于一维，时间间隔必须小于等于波以光速通过一个Yee网格所需的时间，二维和三维，时间间隔必须小于等于波以光速通过一个Yee网格对角线的1/3(三维)或者1/2(二维)所需要的时间。而对于数值色散，时间间隔要取得更小。

3. 边界条件如何设置

许多电磁场边值问题都包含了无限大的空间范围，例如天线设计，电磁散射，电磁传播等。求解的一大困难是无法存储无限空间的网格数据，需要采取一定措施将无限大空间问题转成有限空间问题，通常的做法是设置人工的边界，将无限大区域截断，构造出一个有限的空间区域，这个区域包含了要求解的对象，激励源等，同时需要在人工边界上接入一定的边界条件。使得电磁波在这些边界上与无限大空间一样无条件地向外传播，这些边界条件称为吸收边界条件。解决问题的关键是获得合适的吸收边界条件，其中早期比较典型的是Mur吸收边界条件。

完全匹配层，通过在截断边界处附加匹配的有耗材料来实现。在实际三维电磁场中，电磁波会以不同角度入射到截断边界上，要使所有入射波都能够无反射地进入到有耗媒质中比较困难。完全匹配层吸收边界通过场分裂法和单轴媒质两种方法实现。

4. 激励源

在电磁仿真软件中，需要设置激励源，也就是通常所说的类似Port端口的概念。FDTD常用的激励源有：时协场源；脉冲源，包括常见的高斯脉冲，升余弦脉冲，截断三正/余弦脉冲，调制高斯脉冲，双指数脉冲。

利用FDTD计算还会涉及到近远场转化，色散模型，并行计算，S参数计算等一系列问题，后面介绍天线，矩量法等再介绍相关话题。

FDTD软件

由于FDTD原理相对简单，开源和商用的软件都比较多，开源的FDTD  ， Meep，OpenEMS，商用的GEMS， xFDTD，FDTDSolution，国内的有EastFDTD。

最后用一个简单的C   程序演示了二维FDTD求解流程，包含网格生成，电磁场更新，设置吸收边界，激励等基本元素。

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