基于改进响应面模型的悬架K&C特性优化

摘要：悬架运动学和弹性运动学特性是影响操纵稳定性的重要因素。为提高操纵稳定性，基于ADAMS/Car建立某车型前麦弗逊悬架模型，并进行K&C特性仿真分析。在ADAMS/Insight中计算硬点坐标对K&C特性的灵敏度。利用切比雪夫多项式零点插值技术改进响应面模型，并采用该模型描述悬架K&C特性变动范围与硬点坐标之间的关系，针对该模型采用双层嵌套的改进非支配排序遗传算法和粒子群算法进行多目标优化，结果表明：优化后的悬架K&C特性变动范围均有不同程度的减小，汽车操纵稳定性得到了提高。

关键词: ADAMS/Car；悬架K&C特性；契比雪夫多项式；改进非支配排序遗传算法

Optimization of suspension K&C sharacteristics based on improved response surface model

Abstract: The kinematic and compliance characteristics of suspension (K&C characteristics) have great impact on the handling stability. In order to improve the handling stability, Mcpherson suspension model was conducted on the basis of ADAMS/Car, and the simulation ****ysis of K&C characteristics was carried out. The sensitivity of K&C characteristics with respect to hard point coordinate was finished with ADAMS/Insight. Zeros of Chebyshev polynomials interpolation method was used to improve the traditional response surface, and it was applied on approximation suspension K&C characteristics response. A double-layer nesting cycle was proposed to optimize the K&C characteristics of the suspension. In the outer loop, NSGA-II architecture was added with individuals generate and maintain population diversity program which was used for multi-objective optimization. In the inner loop, the particle swarm optimization (PSO) algorithm was used to obtain the maximum and minimum value the K&C characteristics with respect to the lateral force. The results show that the variation range of the suspension K&C characteristics has been optimized in a certain degree, and the vehicle handling stability is improved.

Key words: ADAMS/Car； kinematic and compliance characteristics； Chebyshev polynomials； improved NSGA-Ⅱ

麦弗逊独立悬架具有结构简单、簧载质量小、发动机的布置方便等优点而在轿车上得到了广泛的应用。其主销轴线的位置在减震器与车身铰链中心、横摆臂以及转向节铰链中心的连接线上，当车轮相对车身运动时，车轮定位参数在运动过程中发生较大的变化，而悬架定位参数是K&C特性研究的重要内容，并且，悬架K&C特性[1]影响着汽车操纵稳定性和平顺性。因此，悬架K&C特性的研究对汽车底盘开发中起着指导作用。

清华大学吕振华等[2]提出了一种考虑橡胶弹性的悬架C特性迭代计算方法，并讨论悬架K&C特性对汽车操纵稳定性的影响。白小辉[3]采用ADAMS与Isight联合仿真的方法，对悬架进行全工况灵敏度分析，对K&C特性进行多目标优化，试验结果表明，优化后的整车性能得到一定提高。张宝珍等[4]利用薄板样条插值的高维模型构建K&C特性与悬架硬点之间近似模型，通过遗传算法对K&C特性指标进行优化，优化结果表明，操纵稳定性得到了一定的改善。在整车开发前期阶段，Yuen等[5]以悬架运动学特性为基础，建立数学模型，预测汽车的操纵稳定性。

由于悬架系统中橡胶衬套的非线性和机械构件的变形，悬架K&C特性与硬点坐标之间相互耦合且具有非线性关系。近几十年来，国内外学者采用商业软件对悬架进行建模，其优点是能够使悬架模型达到一定的精度，然而，悬架系统的设计[6]往往依赖工程师的经验和直觉，需要反复尝试并做大量的虚拟样机试验，这必将花费大量的时间。而数学模型不仅能够准确描述悬架K&C特性与硬点的非线性耦合关系，还能大幅度提高计算机运算效率。Zhou等[7]采用自适应权重因子的方法，将多目标优化问题转化为单目标优化。Jin等[8]基于数学模型的性能指标，研究了4个主流的数学建模技术，其中包括多项式回归模型，Kriging插值模型，多元自适应样条回归模型和基于径向基函数的数学模型。结果表明，相比于其他数学模型，多项式回归模型具有高效和透明等优势，而传统的二阶多项式模型不适合解决强非线性问题，但可以利用高阶多项式改进模型。

本文通过切比雪夫多项式零点插值改进响应面模型，构建硬点与悬架K&C特性之间的关系，并采用粒子群算法对每一个设计向量进行寻优，利用寻优结果求得K&C特性的变动范围，进而采用改进非支配排序遗传算法对K&C特性进行多目标优化，以改进悬架设计参数。

一、悬架模型及灵敏度分析

1、悬架多体动力学模型

根据某款乘用车的三维模型参数以及物理参数建立前麦弗逊悬架模型，如图1所示。B为减振器与车身连接点，采用弹性衬套连接，A和E分别为拉杆外点和下摆臂外点，通过球铰与转向节相连，F和G分别为下摆臂内前和内后定位点，通过衬套与副车架相连。

图1  麦弗逊悬架模型

Fig.1  Macpherson suspension model

前束角为车轮中性面与x轴的夹角，当汽车前进时，如果前束角使两个车轮产生靠拢的趋势，则为正前束，反之为负前束。外倾角为车轮中性面与z轴的夹角，当汽车向前行驶时，外倾角产生使车轮向两边分开的趋势为正外倾，反之为负外倾。主销后倾角为主销轴线与yz平面的夹角。主销内倾角为主销与xz平面的夹角。  

2、悬架动力学仿真分析

侧向力加载工况反应汽车在转弯工况下，受地面侧向力作用，悬架K&C特性指标的变动范围。本文设置侧向力变化范围为-3000~3000N。

在理想状态下，希望车辆的前束角和外倾角保持不变，这样可以减小轮胎的磨损和保证直线行驶性能。仿真结果如图6，可以看出前束角的变化范围为-0.29~0.24deg，成负前束变化特性；外倾角的变化范围为-0.23~0.16deg，成正外倾变化特性，当车辆转弯时，外侧车轮上跳，外倾角变大，不利于车轮与地面的接触。

主销后倾角和主销内倾角的变化范围分别为0.015deg和0.3deg左右，变化范围较小，且不影响汽车的直线行驶性能。

图6 前束角、外倾角变化特性

图7 主销后倾角、内倾角变化特性

2、灵敏度分析

在建立响应面数学模型前，需要确定设计变量和目标响应。为了方便建立数学模型，以提高后续的优化效率，首先排除一些灵敏度小的参数的影响。在ADAMS/Car中进行侧向力加载试验，选取前束角变化特性、外倾角变化特性、主销后倾角和主销侧倾角变化特性。以拉丁超立方方法进行试验设计，部分灵敏度分析结果如表1,其中，负数表示当坐标变大时，K&C特性指标反向增大。

表1 灵敏度分析结果

通过灵敏度分析可以看出，拉杆外点x，y坐标对外倾角灵敏度较高，减震器上安装点y，z坐标对外倾角和主销后倾角都有很大的影响，结合工程可行性，本文选取四个优化变量，分别为拉杆外点x，y坐标和减震器上安装点y，z坐标，即变量u=[xA yA yB zB]T，其中，A、B分别为拉杆外点和减振器上安装点，初始值u=[150 -690 -603.8 790]T,每个坐标的上下变动范围为[-5,5]。

通过悬架模型仿真结果图6和图7可知，主销内倾角变动范围小于0.5deg，主销后倾角变动范围小于0.1deg，基本无变化。所以，本文选择的重点优化对象为前束角和外倾角，并设置如下的约束条件：

     （1）

二、改进响应面模型与遗传算法

本节将首先介绍如何使用切比雪夫多项式构建近似模型，然后阐述采用切比雪夫多项式零点作为采样点所构建的改进响应面模型。最后，利用该方法构造了麦弗逊悬架的数学模型。

1、切比雪夫近似理论

如果函数 f(x) 在[a,b]上连续，则存在一个收敛于 f(x) 的多项式 p(x) ，即对任意ε都有：

（2）

令Pn(x)为不超过n阶多项式，对任一非负整数n都存在唯一多项式P*n(x)属于Pn(x)，满足：

（3）

其中，P*n(x) 为函数非 f(x) 在 [a,b] 上最佳逼近函数。然而，当n>2时，很难得到 P*n(x)。而切比雪夫级数与最佳逼近函数非常接近，因此，本文采用切比雪夫级数来逼近初始函数 f(x)。

 （4）

其中，fi 为常数项系数，Ci（x）为切比雪夫多项式。

（5）

切比雪夫递推公式为：

（6，7，8）

由于切比雪夫多项式的正交性，常数项系数可以由公式（10）计算得出：

（9）

通过高斯切比雪夫求积分公式将公式（9）进行适当变形得：

（10）

其中，m是积分公式的阶数，xj是积分公式的插值点，也是m阶切比雪夫多项式的零点。

2、基于切比雪夫多项式零点插值的改进响应面模型

本文利用切比雪夫多项式零点插值改进响应面模型，n维切比雪夫多项式可以写成如下形式：

（10~15）

其中，y是采样点评价函数值组成的向量，矩阵

由采样点处基向量的系数值组成，

（16）

其中，x1,…,xs为采样点。

基于切比雪夫多项式零点插值和传统响应面模型的主要区别在于采样点，在传统响应面模型中，试验水平均匀分布，而本文采用的方法以切比雪夫多项式零点作为采样点。例如，在试验设计空间[-1,1]上采用三水平试验设计，传统响应面模型的采样点是[-1,0,1],而基于切比雪夫多项式零点的采样点则是[cos(p/6) cos(p/2) cos(5p/6)]，相对于传统响应面模型的均匀采样，采用上述采样方法具有更高的精度，尤其在处理高度非线性问题上，基于切比雪夫多项式零点插值的采样方法优势更为明显。

3、改进响应面模型的建立

应用上述理论，建立麦弗逊悬架K&C特性指标的改进响应面模型，其中包括前束角、外倾角、主销后倾角和主销侧倾角。为了简化计算，参考公式（6），将变量u和侧向力F进行简化处理：

(17)

其中，Fr和Fl为侧向力上下限3000N和-3000N。

本文采用三阶多项式来构建关于u的响应面模型，每个维度的设计变量的采样点是Xi=cos([p/8 3p/8 5p/8 7p/8])。因为本文选取的设计变量有4个，因此，采样点数为44=256个。在ADAMS里对悬架模型进行仿真，得到256组K&C特性指标值。当采样结束后，在样本数据的基础上建立改进响应面模型，并验证数学模型的精度。因为数学模型相比与ADAMS多体动力学模型在计算速度上有较大地优势，本文将改进响应面模型用于后续的优化。

首先，构造每个离散侧向力加载的设计变量u的切比雪夫多项式插值模型。以外倾角为例说明构切比雪夫多项式插值模型。计算每个离散侧向力加载节点的外倾角值，契比雪夫多项式插值模型为式（18），

（18）

其中，Fk为第k个侧向力加载节点。

在侧向力加载维度上，存在51个K&C特性指标的离散值，所以，本文使用这些离散值作为一组采样点构建随侧向力变化的K&C特性指标模型。由于加载的侧向力范围较大，因此，采用高阶多项式构造切比雪夫多项式零点插值的改进响应面模型。在本文中，使用四阶多项式拟合K&C特性指标，模型为：

（19）

其中，q为侧向力F的指数。

用等式（18）在方程中引入侧向力作为变量，将式（19）代入式（18）中，外倾角指标最终成为一个连续函数

（20）

构造外倾角改进响应面模型主要包括4个步骤：

（1）计算256个抽样点，即每个维度抽样点的张量乘积，即4阶切比雪夫多项式零点;

（2）在每个采样点运行麦弗逊悬架的运动学模型，并输出与侧向力有关的K&C特性指标;

（3）用式（20）在每个车轮行程节点处构造外倾角关于设计变量的切比雪夫插值模型;

（4）建立外倾角指标相对于侧向力的基本模型，然后得到车辆外倾角响应面模型的最终表达式。

同样地，可以通过相同的过程来获得前束角、主销内倾角和主销后倾角的改进响应面模型。

4、优化流程

外层循环每迭代一步，产生的结果作为初始值带入到内层循环，而内层循环包括8个寻优过程，分别为前束角、外倾角、主销后倾角和主销内倾角的最大和最小值，当内层循环结束，外层循环将结果用于评估解的质量和考察是否满足约束条件。重复上述步骤，直至外层循环结束。因此，内层循环的计算速度极大地影响着整体优化速度。

本文采用粒子群优化算法[9]（PSO算法）作为内层优化算法，因为内层循环的目的是寻找函数最值，属于单目标寻优问题。与其他进化算法相比，PSO算法优势主要在于用简单的速度－位移模型进行择优操作，避免了复杂的交叉、变异等复杂操作，因此，PSO算法相比于其他进化算法收敛速度更快[10]。本文应用PSO算法对每一个设计向量u进行侧向力加载工况下K&C特性指标的寻优。

因为外层循环涉及到多目标优化问题，本文在非支配排序遗传算法（NSGA-Ⅱ）并行全局搜索的架构[11]上，加入了抑制和删除重复个体生成的程序，以加快了算法的收敛速度，同时兼顾种群的多样性，NSGA-Ⅱ根据个体的目标函数值让个体分成不同等级[12]，个体等级相同则代表具有相同的优先级，不同等级中，等级1为最高等级。父代种群个体优先选取等级高的个体，随着迭代的进行，重复个体增多，高等级的重复个体也随之增多，容易收敛到局部最优。为了确保新父代种群[13]中的个体来自不同等级，新父代种群中各等级中的个体数目为：      

（21）

其中，K为个体等级，i=1,2,…,K；r为自行设定值，0﹤r﹤1，本文取0.5；N代表父代种群个体数。

图8 优化流程图

三、优化结果分析

对于麦弗逊悬架而言，前束角主要由转向拉杆外点A、下摆臂外点E和上安装点B的相对位置决定，前束角变化的主要原因为：当车轮相对于车身上下运动时，由于上述3个点的相对位置发生了改变，从而发生了前束角的变化。外倾角主要由摆臂的长短和相对高度决定，而麦弗逊悬架不存在上摆臂，因此，外倾角主要由上安装点B和下摆臂决定，与上文的灵敏度分析结果相吻合。对于主销后倾角和主销内倾角，本文仅将他们作为约束条件，不是主要优化对象，在此不做过多分析。

从表2可以看出，经过双层嵌套优化后，前束角的变化范围从0.534deg降低到0.364deg，外倾角的变化范围从0.397deg降低到0.280deg，并且主销后倾角和内倾角符合约束条件，且变动范围有不同程度的降低。

当汽车转弯，外侧车轮受到向内的侧向力，前束角呈负前束变化，则前轮外侧车轮外张，增加了不足转向趋势[14]，优化后降低了前束角的变动范围，还为汽车提供一定的不足转向趋势；因为外倾角影响轮胎的磨损和转弯时轮胎的附着性能，因此，汽车转弯时，希望轮胎垂直于地面[15]，或者成轻微的负外倾。对比优化前后的外倾角变化趋势，优化后变化范围变小，且更接近零外倾；主销内倾角和主销后倾角[16]影响汽车的回正性能和转向轻便性，本文将它们作为约束条件，这里不再赘述。

表2 优化前后结果对比

 图9优化前后的外倾角与加载的侧向力关系

图10  优化后的前束角与加载的侧向力关系

图11  优化后的主销后倾角与加载的侧向力的关系

图12 优化后的主销内倾角与加载的侧向力关系

四、结论

1、本文提出基于切比雪夫多项式零点插值的改进传统响应面模型，并建立设计向量与目标函数之间的数学模型，设计向量中包含4个变量参数，目标函数包含两个目标，六个约束条件。采用ADAMS建立麦弗逊悬架的多体动力学模型，获取K&C特性参数，包括前束角、外倾角、主销后倾角和主销内倾角关于侧向力加载的变化趋势，并用于后期的建模。结果表明，改进响应面模型用于悬架参数优化极大地降低了计算时间。

2、本文采用双层嵌套循环，因为外层每循环一次，内层需要求8个最值，将PSO算法用于内层循环，提高了计算效率，缩短了运算时间。外层循环采用改进NSGA-Ⅱ算法，在原有算法基础上加入抑制和删除重复个体的操作，并兼顾种群多样性。结果表明，双层嵌套循环适合用于悬架系统多目标优化，并取得了一定的效果。

参考文献

[1] 余志生. 汽车理论[M].第5版. 机械工业出版社, 2009.

[2] 吕振华, 常放, 杨道华,等. 利用ADAMS对双横臂独立悬架进行仿真分析[J]. 汽车科技, 2005(5):7−9. 

[3] 白小辉. 基于刚柔耦合的悬架K&C特性仿真分析与性能优化[D]. 四川：西华大学汽车与交通工程学院, 2016.

[4] 张宝珍, 阿米尔, 肖思俊. 基于区间不确定性的前悬架多目标可靠性优化[J]. 汽车工程, 2015(6):707−713. 

[5] YUEN T J, Foong S M, RAMLI R. Optimized suspension kinematic profiles for handling performance using 10-degree-of-freedom vehicle model[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part K Journal of Multi-body Dynamics, 2014, 228(1):1−18.

[6] 郭孔辉. 汽车操纵动力学[M]. 长春：吉林科学技术出版社, 1991.

[7] ZHOU D, ZHAO J, LIU Y. Predictive torque control scheme for three-phase four-switch inverter-fed induction motor drives with DC-link voltages offset suppression[J]. Power Electronics IEEE Transactions on, 2015, 30(6):3309-3318.

[8] JIN R, CHEN W, SIMPSON T W. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modelling criteria[J]. Structural & Multidisciplinary Optimization, 2001, 23(1):1−13.

[9] LIU Y Y, XU S B. New Particle Swarm Optimization Base On Boundary Mutation[J]. Cyberspace Security, 2017, 160(12):653-659.

[10] GHASEMI M, AGHAEI J, HADIPOUR M. New self-organising hierarchical PSO with jumping time-varying acceleration

 coefficients[J]. Electronics Letters, 2017, 53(20):1360−1362.

[11] FRIEDRICH T, KOTZING T, KREJCA M S, et al. The compact genetic algorithm is efficient under extreme gaussian noise[J]. IEEE Transactions on evolutionary computation, 2017, 21(3):477−490. 

[12] APOLINAR J, RODRIGUEZ M. Three-dimensional microscope vision system based on micro laser line scanning and adaptive genetic algorithms[J]. Optics Communications, 2017, 385:1−8. 

[13] HORTON P, JABOYEDOFF M, Obled C. Global optimization of an ****og method by means of genetic algorithms[J]. Monthly Weather Review, 2017, 145(4):1275−1294. 

[14] RAJAMANI R. Vehicle dynamics and control[J]. 2012, 37(8):111.

[15] ASADI E, RIBEIRO R, KHAMESEE M B, et al. Analysis, prototyping and experimental characterization of an adaptive hybrid-electromagnetic damper for automotive suspension systems[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2017, PP(99):1−1.

[16] 何志刚, 陈阳, 盘朝奉. 基于NSGA-Ⅱ算法的麦弗逊悬架多目标优化[J]. 广西大学学报:自然科学版, 2016(6):1807-1814.