悬臂梁固端约束看似极简单，实际也是一个经典问题

在弹性理论中，悬臂梁的固定端上的每个点都应该满足位移为零的位移边界条件，但因该条件过于严格，实际中很难得到满足这种边界条件的精确解。不同的放松条件会得到不同的近似解，如利用圣文南原理放松应力边界条件等得到某些弹性理论近似解析解；或者将固定端横截面形心处的位移和转角定义为零，从而获得近似解析解。简而言之，悬臂梁固定端应力没有弹性理论的精确解。

梁理论利用中面上的变形描述整个弹性区域的变形，相对弹性理论而言，梁理论是一种近似理论，如欧拉梁理论、铁摩辛柯梁理论和levinson梁理论等，其中欧拉梁理论与材料力学解一致。

有限元法因可以对固定端边界面上的所有节点施加位移为零的约束，理论上随着节点数目的增多，可以无限接近固定端真实的位移边界，因而有限元结果常作为理论解近似程度的比较判据。

无论是弹性理论，还是梁理论，或是有限元法，就悬臂端位移而言，其解都可接受，换句话说就是悬臂端位移解具有良好的吻合程度，但是为何应力往往相差甚远。

以悬臂梁受弯问题为例，本文讨论如下两个问题。设梁长为2000mm，截面尺寸为200×100mm(高)，材料的弹性模量为200GPa,泊松系数取为0.3，自由端荷载20kN。根据材料力学知识，可求得悬臂端挠度为16mm，固端截面上下缘应力为120MPa。

第一个问题：采用实体单元，ANSYS怎样模拟才能与弹性理论近似解或材料力学解（简称理论解）吻合？

看似很简单的问题，你会：创建一个六面体，采用SOLID186（20节点）单元，高度方向上有一定的网格密度（如4个单元），并采用六面体映射网格划分，固定端截面的所有节点全约束（图1a）），可获得与理论解吻合的结果。事实上并非如此！你会发现，悬臂端竖向位移与理论解很容易吻合(图1b),15.92mm)，但固端截面应力(147.5MPa)则不吻合，而离开固端截面很小距离（如小到梁高的1/10）的截面，其应力解与理论解就吻合的很好（图1c/d））。

那么，怎样模拟可使位移和应力都吻合呢？可以采用放松固端截面约束的方法，即梁长方向自由度全部约束，水平形心轴约束竖向自由度，横向自由度仅约束形心处，如图2a)所示，采用同上的单元网格计算结果如图2b)~2d)所示，悬臂端竖向位移为16.01mm，固端截面最大应力为124.60MPa，虽然不能确定“真解”，但应该在120MPa左右，因此可以说吻合较好。

FINISH$/CLEAR$/PREP7

L=2000$B=200$H=100

BLC4,,,L,H,B

WPOFF,,,B/2$VSBW,ALL

WPOFF,,H/2$WPROTA,,90

VSBW,ALL$WPCSYS,-1

ET,1,SOLID186

MP,EX,1,2E5$MP,PRXY,1,0.3

ESIZE,H/4

MSHKEY,1$VMESH,ALL

!放松约束条件

NSEL,S,LOC,X,0$D,ALL,UX

NSEL,R,LOC,Y,H/2$D,ALL,UY

NSEL,R,LOC,Z,B/2$D,ALL,UZ

NSEL,ALL

P=2E4$NSEL,S,LOC,X,L

*GET,NN,NODE,,COUNT

F,ALL,FY,-P/NN$NSEL,ALL

/SOLU$ALLSEL,ALL$SOLVE

/POST1$PLNSOL,U,Y$PLNSOL,S,X

但是，虽然采用放松自由度约束方法可获得较为接近的结果，但有何意义呢？不可能每个计算分析都要去校验约束如何如何？确实如此，此例只能说明悬臂梁固端约束是个问题，其次实际中有些约束需谨慎对待，第三是计算分析对比条件要一致。

第二个问题：单元网格尺寸越小，有限元计算结果精度越高吗？

是的，通常情况下，单元网格尺寸越小，有限元计算结果精度越高！这是有限元理论原理所决定的。但是，你是否常常遇到，网格尺寸越小而应力值越大的情况？所以，上述说法在下列情况时除外：

（1）应力奇异时。应力奇异就是在弹性范围内，某些点的应力无解或无穷大。例如，实体结构的凹点、变截面处、集中力作用点、约束处等。在应力奇异条件下，这些点的应力会随着网格尺寸的减小而增大，无网格收敛趋势，尤其是应力奇异处为整个结构最大应力处时，如悬臂梁固端截面就是应力奇异之处。而简支梁虽然也有应力奇异处，但最大应力并不发生在那里，而是在跨中截面，因此其应力必然随网格是收敛的，也就是网格越密结果精度越高。

（2）应力集中处。与应力奇异不同，应力集中在弹性范围内是可以求得数值的。这就有合理网格密度问题了，通常合理的网格密度通过改变网格参数，查看应力-网格尺寸关系判定；也可通过ANSYS的能量模误差百分比判定，如该百分比≤5(PRERR)时便可认定结果合理。

（3）如果网格无限小，就有些抬杠了。网格无限小时应力可能会无限大，是发散的，这不属于应用的讨论范围。

综上，悬臂梁固端约束问题是个经典问题，不宜随意拿来与材料力学解去比较。“网格越密越精确”是对的，但不适用于应力奇异点。

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