静压孔引起的壁面静压测量误差分析

在壁面上测得的压力可以代表壁面附近流体的静压，是基于这样的认识：

1. 流体中的压力与方向无关，壁面附近的气流平行于壁面流动，因此壁面感受的压力就是流体的静压。

2. 根据边界层理论，压力沿壁面法向不变，壁面上的压力等于边界层以外主流的压力。
   

当在壁面打孔之后，气流在孔口附近就不是直线流动了，显然孔的大小和形状都将对流动有影响。传感器测得的压力不再精确等于流体的静压，需要定量评估这个误差。

现在用p_w代表壁面压力的真实值，用p_wm代表通过静压孔测得的压力，它们的差值就是测量误差，即：

常见的流动都是湍流，所以本文主要研究边界层为湍流时的测量问题，这时的壁面附近流动不怎么受主流影响，而是取决于当地的流动雷诺数（即CFD里面经常遇到的y ）。或者通俗一点说，局部扰动引起的压力变化与壁面剪切力直接相关。

于是可以定义一个无量纲系数，它乘以壁面剪切力等于压力误差：

这个无量纲数（大写的pai）就代表了压力误差的大小，影响因素很多，列出如下：

各项的含义如下：

静压孔附近及孔内部的流动实在过于复杂，所以这个问题只有在极低雷诺数时才可能进行理论分析和求解。这个问题一直以来是用实验研究的，但因为误差本身就很小，实验测量这个误差本身的误差很大，并且很难把各种因素分开研究，所以实验的局限性很大，实验数据的可信度也大打折扣。

其实现在我们可以用LES（最好用DNS）计算来研究这个问题了，不知道有没有人愿意做这方面的研究，我觉着还是值得的。

虽然目前并没有办法评估静压孔的整体测量误差，但针对上述每个影响因素都有人进行过独立的分析，分别叙述如下。

一般的测量规范中，都要求壁面静压孔是圆孔，且轴线严格垂直于壁面。实际上并没有证据表明非圆孔的测量就不准确，并且孔的轴线垂直壁面的要求也不需要很严格。

曾经有人对展向开槽引出压力信号和圆孔方式进行了对比，发现对于超声速流动来说，两者的差别小于±1%。对于亚声速流动，虽然没有足够的试验数据，但应该比超声速流动的误差小。

有人研究过静压孔轴线与壁面垂直度的影响，发现当静压孔轴线顺流向倾斜30°时，测得的压力等于真实值，当轴线在此基础上逆流向倾斜时测得的压力偏大，而在此基础上顺流向倾斜时测得的压力偏小。

这个结论有点奇怪，为什么静压孔轴线顺流向倾斜30°时反而会没有误差呢？我认为是他所用的静压孔偏大的原因。孔的尺寸大本身带来的是正偏差（见下面第3节），而孔的轴线顺流向倾斜带来的是负偏差。对于他的实验，30°时两者正好抵消。

一般在实用时，如果并不知道该顺流向倾斜多少合适，就应该让静压孔轴线垂直于壁面，只不过测量者要知道的是，其实顺流向倾斜一点要好。当然这个垂直度引起的误差并不大，只要在90°附近就行。

静压孔的大小是如何引起测量误差的呢？如下图所示，静压孔使流场中原本顺壁面的流线产生弯曲，并且静压孔内部也存在着复杂的旋涡流动。因此，静压孔底端（连接传感器）的压力就不等于孔口处的压力。根据主流的弯曲形式分析，孔内的空气会承受额外的离心力，所以测量压力会大于实际壁面压力。

影响流动的一般参数应该是无量纲数，可以用两个无量纲数来表示。一个是孔直径与流场特征尺度的比值，代表主流的流线弯曲的影响。一个是孔直径与湍流边界层内涡尺度的比值，代表孔对湍流边界层内层流动的扰动。即：

（各参数定义参照前面第1节）

因此静压孔直径引起的测压误差可以表示为：

这两种误差很难分开考虑，而且由于误差本身很小，很难精确测量。下图是某一篇论文中的研究结果。

这个图的横坐标表示了静压孔直径与湍流涡尺寸的比值，纵坐标表示了压力测量误差。

只看任意一条线，可以看到静压孔直径与湍流涡尺寸的比值越大，误差就越大。这是因为这个比值越大，相当于湍流就越容易陷入静压孔中。把湍流的涡比作湍流的“触觉感受器”，显然静压孔相对于感受器越大，就越容易被感受到。就像我们用手去摸壁面一样，当壁面的凸凹比我们手上的感受器小得多时，就摸不出来了，手感觉壁面是光滑的了。对于流动，这时就不受孔的影响了，所以足够小的孔不带来误差（对应管流中“水力光滑”的概念）。这种情况对应于横坐标接近于0时。

对于相同的横坐标，图中不同的线对应的雷诺数表示了主流特征尺度的大小，从图上看出，主流特征尺度越大，误差也越大。这可能是因为主流特征尺度大，流线受限制就小，更容易受静压孔影响而弯曲。

从上图还可以看出，最大的误差是pai=7左右，也就是误差为：

我们现在可以估算一下静压孔的尺寸太大可能带来多大的误差。

对于平板湍流边界层，可用下式估算壁面摩擦系数：

当雷诺数为100000时，上式估算出的摩擦系数C_f大概为0.006，也就是说壁面摩擦力是主流动压头的0.6%左右。测量误差是动压头的7*0.006==0.042=4.2%。

可见这个误差还是挺大的，尽量减小静压孔的尺寸是必要的。

对于高速流动的测量，尤其是超声速风洞中的静压测量，需要注意压缩性和静压孔大小的共同影响。

很多超声速风洞都是暂冲式的，工作时间可能就几十秒，这时就要求管路响应要快。采用很细的静压孔的话，管路响应太慢不能满足要求，所以静压孔不能太小。另外，超声速气流会在孔边产生复杂的激波和膨胀波系，这也对压力有影响。于是超声速的静压测量可能就可能有不小的误差。

下图是某个研究结果。

总体来说，马赫数越高，误差越小。

原因应该是这样：在高雷诺数下，提高流速对应的雷诺数增加并不明显减小湍流边界层内的涡尺度，从而实际压力偏差并不随着流速增大很多。但更高的流速带来更大的动压，所以压力的相对误差就小了。

由于高马赫数一般对应着高雷诺数，边界层厚度很薄，所以静压孔直径经常大于边界层的位移厚度。即上图的横坐标经常都是大于1的。

假设有一个流动，主流马赫数为2.0，边界层位移厚度为0.2mm，静压孔直径为0.5mm，则从上图可以得出，静压误差为：

即压力测量误差为静压头的1.3%，还是值得注意的。

静压孔一般都是在金属材料上钻出来的，孔边难免会有倒圆和毛刺,这会带来静压测量的误差。理论分析可以得出的结论是：凹陷的静压孔会使测得的压力偏大，凸起的静压孔会使测得的压力偏小。

因此，静压孔口倒圆会使测得的静压偏大，最大可能引入的误差大概为主流静压头的1%。当静压孔足够小，且孔口的圆角半径小于静压孔直径1/4时，误差可忽略。

下图是关于孔边毛刺的研究结果。

可见，毛刺引起的误差比圆角要大。当毛刺尺度达到孔口直径的1/30量级时就会带来显著的影响。

图中的横坐标表示孔径与湍流涡尺寸的比值，对于常见的流动这个值是多少呢？

还是用前面的摩擦系数经验公式，当雷诺数为100000时，摩擦系数大概为0.006。假设主流速度为50m/s，密度为1.2kg/m²，就可以得出摩擦速度为：

从而可以计算出这时图中的横坐标应该为：

这时，如果毛刺尺度为孔口直径的1/30，pai=2.5，静压测量误差为：

即测量误差为主流动压头的1.5%。

下面的左图表示了不合格的静压孔，右图表示了合格的静压孔。实际上左图这个情况引起的误差也很小，不过既然可以做得更好，就应该尽量减小误差。

孔深会影响孔内的涡系结构，从而影响后端传感器感受到的压力大小。很显然这个涡结构还受到静压孔后端的容腔或传感器结构的影响，并且与流动的湍流特性相关，所以这个问题是比较复杂的。一般认为，静压孔深度应该大于两倍的静压孔直径，即：

并且有人给出了如下关系式：

有一个研究给出了下图的结果，这个结果是基于孔后方连接的容腔直径是孔直径的14倍得出的，即：

当容腔的直径向孔的直径靠拢时，这个误差也会随着减小。当容腔直径小于孔的直径时，误差从负偏差变为正偏差。

如果壁面是有曲率的，沿边界层法向方向是有离心力的，所以就会有压力梯度。这时壁面压力就不在等于边界层外界处的压力。只不过一般情况下这个差别很小。

当壁面的曲率半径很小，边界层厚度很大时，法向压力梯度大概为：

设边界层外界处的压力为p，壁面压力为p_w，则误差为：

只要雷诺不是很小，位移厚度一般都会远远小于壁面曲率半径，所以这个误差一般是忽略的。

但是，如果曲率很大，比如当曲率半径等于位移厚度的200倍的时候，引起的误差就已经达到动压头的1%了。所以对于有些情况，比如转角附近的测量，这个误差还是要考虑的。

如果流动存在流向压力变化，那静压孔大小的影响可能很大。因为一般的实验者以为测量的是静压孔轴线位置的静压，而实际上，测得的压力更接近于静压孔前缘附近的压力。

下图是一个圆柱表面静压孔附近流动的示意图。由于圆柱本身直径较小（6mm），而静压孔无法做得很小（0.5mm），孔的前缘和尾缘跨度有圆柱表面将近10°的范围。显然，这个范围内主流压力已经发生了明显的变化，这时如果再认为测得的压力是孔轴线位置的压力，就会有很大的误差。

湍流边界层内部存在非定常脉动的流动，所以壁面感受的压力并不等于主流的压力，但这个差别很小，大概就是壁面剪切力的量级，也就是说，这个误差大概对应于：

总体来说静压孔设计不够合理的话，壁面静压测量的总误差大概会有主流动压头的百分之几的量级。这个误差还是值得注意的，毕竟对于很多流动问题（比如翼型表面压力分布），这么大的测量误差已经严重影响结果评估和下一步优化设计了。