阻尼模态理论中的知识要点介绍

来源：整理自百度文库《阻尼模态理论》

阻尼从运动角度看，它起阻碍运动的作用，其阻尼力的方向是与运动方向相反。阻尼力大小的具体规律受多种因素影响，往往需对具体问题作具体分析，且只能突出主要因素通过实验加以测定。阻尼从能量角度看，它消耗结构系统的能量，其量值可用它在振动一周内所耗散的能量来度量。由于阻尼机理的复杂性，缺乏统一的规律性，在工程上只能采用简单模型用能量等价的方法作简化处理。下面，首先对几种典型阻尼的机理分别作个简要介绍。

2. 粘性阻尼模型

结构系统最简单的一种阻尼模型是粘性阻尼模型，由于它是一种线性阻尼模型，被广泛应用于结构动力学分析。粘性阻尼的机理是基于在粘性流中流动的物体所受到的一种阻力，它的大小与运动速度成正比，运动速度越大则所受的阻力也越大，它的方向是与速度反向，对于一个质点来说，它粘性阻尼力的数学表达式可写为：

其中，v 是质点的速度，c 是介质的粘性阻尼系数。由于粘性阻尼的存在，在运动过程中要耗散能量，它在单位时间内耗散的功率如下：

若结构系统是个连续系统，在粘性流介质中运动时产生有分布阻尼力。它也用粘性阻尼力的数学表达式表示，所不同的是，它是位置坐标xi 的场变量。它所耗散的功率：

D 称之为耗散函数，当结构系统进行离散化后，离散化结构系统的阻尼力列阵是：

它的耗散函数是：

其中，[C ] 称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型，在以后的分析中若不作特殊说明时，所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。

3. 材料阻尼模型

结构系统的另一种重要阻尼是由材料内阻产生的。结构系统发生不断的往复运动时，材料内部阻尼将消耗其机械能，这种材料内阻与材料性能有关，取决于材料的本构关系。材料的弹性性能由虎克定律用下式表示：

材料阻尼所产生的阻尼应力σe 认为是与应变率成正比，设其比例系数是g，且阻尼应力的方向与应变率反向，即：

则这种阻尼材料的本构关系是：

这种简单的材料阻尼模型，称之为Voigt 模型。设结构系统以频率ω 作简谐振动，其应变分量也按简谐规律变化，即：

则它的总应力是：

其中，复模量

是Voigt 型阻尼材料的复模量。

材料阻尼有多种阻尼模型，它的一种描述形式是用其复模量。它的实部是其弹性性能，它的虚部是其阻尼性能。一种最简形式是：

但这种形式实用上有非常大的局限性，只适用于单自由度系统作简谐振动的情况。

目前比较广泛使用的材料阻尼模型是粘弹性阻尼模型，它是建立在材料的粘弹性本构关系基础之上的。这种粘弹性材料性能是与其变形历史有关，且具有渐忘记忆特性。它的本构关系在拉氏域内的描述有与虎克定律相似的形式，即

其中，E(s ) 是拉氏域内的复模量，它的一种标准导数模型可用拉氏变量的有理分式给出，即

这种粘弹性阻尼模型的引入是对材料阻尼的一种较好的描述，它给出了阻尼的频变性能。

4. 摩擦阻尼模型

结构系统是由构件组合而成。各构件之间存在着间隙和摩擦，它们构成摩擦阻尼，在结构系统发生振动时它要消耗能量。它的一种最简单的阻尼模型是库伦摩擦阻尼模型，库伦摩擦力为：

其中，N 是正压力，μ 是摩擦系数，dur/dt 是摩擦副之间的相对速度。这是一种常见的阻尼模型，但它是一种非线性阻尼模型，在分析计算中有众多困难，这里将不作进一步的分析。

为在实际分析中能考虑各类阻尼的耗能作用，可以用当时粘性阻尼来替代。以库伦摩擦阻尼为例，当结构系统作简谐振动时，在一个周期内库伦摩擦力所消耗的功约等于4μNxm，其中，xm 是其振幅。而当量粘性阻尼力的功是πcfωxm² 。于是，它的当量粘性阻尼系数应是：

这样，可以近似地将它与粘阻尼系数合并来考虑摩擦阻尼的作用。

对于阻尼结构系统，除了上述的三部分能量之外，还有粘性阻尼所消耗的能量，它是用耗散函数公式表示为：

粘性阻尼力{fd } 所消耗的功等于：

于是，阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理可表示为

根据阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理（上式），从它的驻值条件推出它的拉格朗日 (Lagrange) 方程是：

若阻尼结构系统没有受到外加激励的作用 (f=0)，则外力功为零，无外界能量输入，这时将上式前乘{x }ᵀ，可以推得：

它说明阻尼结构系统的机械能在无外界能量输入情况下不断地被消耗，它随时间的消耗率等于耗散函数（粘性阻尼所消耗的功率）的二倍。

2. 离散化阻尼结构系统数学模型

将各能量公式代入拉格朗日方程，得离散化阻尼结构系统在位移空间内的动力学基本方程：

它是阻尼结构系统在物理位移空间和时间域内的数学模型，是一种主要形式的数学模型，但在理论分析时，采用更一般形式的状态方程将更便于进行分析。下面介绍有关系统、状态与状态方程的概念。

(1) 系统的概念

系统是一种更为广泛的概念，反映着某种物理现象，甚至社会现象，表现出输入与输出之间的变换关系。就结构系统而言，反映的是一种力学现象，当对结构系统施加某种作用，如施加激励力{f(t )}，这就是输入，结构系统就要产生振动，有振动位移{x(t )}（或振动应力{σ(t )}）的出现，这是输出，它们构成为一个结构动力学系统。

(2) 状态向量

对系统的完整描述是它的状态向量。所谓状态向量，是描述系统状态的一组变量{y(t )}，根据状态向量的初始值{y(0)} 和以后的输入{f(t )} 将唯一地确定变量的整个变化历程。对于结构动力学系统，它的状态向量是由位移向量{x(t )}和速度向量{x(t )}所组成。因为在已知输入的激励情况下，根据初始位移{x(0)} 与初始速度{x(0)} 可以确定它的整个运动的时间历程{y(t )}。

(3) 状态方程

由状态变量{y(t )} 描述的系统基本方程称为状态方程，状态方程一般地是状态变量的微分方程。它给出了系统的输入与输出的转换关系。以最简单的机械系统为例来说明这个概念。质点动力学的基本方程是牛顿第二定律，即：

它的输入是作用力f(t )，它的定解条件是位移与速度的初始值x(0) 与dx(0)/dt，由此可见，它的状态向量是位移x(t ) 与速度dx(t )/dt，即：

进而得到状态方程：

这类质点动力学问题的输出变量是位移x(t )，则还需有输出方程：

把上面的分析推广到一般情况，一个系统的控制方程应包括两部分：状态方程和输出方程。它的状态方程具有如下一般形式：

和输出方程为：

其中，{y }是状态向量，[A ] 和[B ]是状态矩阵，[E ]是输入矩阵，[D ]是输出矩阵。

阻尼结构系统（离散的有限元模型）的动力学基本方程，是以其节点位移向量{x(t )} 为基本未知量，但它不是状态向量。根据基本方程的形式及其定解条件，它的状态向量应定义为：

为建立状态方程，把阻尼结构系统（离散的有限元模型）的动力学基本方程改写为：

再引入增广的恒等式：

综合上列两个方程，得阻尼结构系统的状态方程为：

状态方程是一种广义形式，它的标准形式应是：

阻尼结构系统标准形式状态方程的状态矩阵和输入矩阵分别是：

这两种形式的状态方程具有各自的特点，将分别采用两种形式的状态来分析阻尼结构系统的振动特性。

1. 比例阻尼结构系统的定义

阻尼结构系统的阻尼，由于生成阻尼的因素多样、机理复杂，难以精细地加以考虑。在工程上往往作近似外理，用能量等效的观点折算为当时的粘性阻尼。

在结构动力学分析中采用的阻尼模型是粘性阻尼模型，它是各种形式的阻尼都折算为当量粘性阻尼。因此，粘性阻尼矩阵[C ] 的形成就不能像刚度矩阵与质量矩阵那样可从其机理分析来确定，给出其定量的规律性。所采用的粘性阻尼模型带有很大的人为假设，是用当量的观点提出的，并非它的实际阻尼情况。这种当量粘性阻尼往往只是给整个结构系统从宏观角度确定其在一个振动周期内消耗能量的总效果，它并不能在有限元级（构形域）和瞬时级（时间域）上作出分析。

结构动力学分析中的粘性阻尼模型又可分为比例粘性阻尼（广义比例粘性阻尼）与一般粘性阻尼两类。比例粘性阻尼模型，又称为瑞利阻尼，认为其阻尼矩阵[C ] 是分别与刚度矩阵[K ] 和质量矩阵[M ] 成正比，即

其中，α、β 是比例系数。这是一种简单的粘性阻尼模型，它具有简单而又明确的物理意义。另一种（广义）比例阻尼模型，又称为柯希阻尼，它的阻尼矩阵定义为级数形式如下：

其中，ak 是系数。若这级数形式的阻尼模型只取其首两项 (p=2)，则退化为瑞利阻尼。这种级数形式的柯希阻尼是更详细地描绘阻尼与刚度、质量之间的函数关系。这类阻尼模型把阻尼矩阵参数化，用它的系数来定量地给出，而这些系数则是从实际结构系统的实测数据的统计结果中拟合出它的当量值。它可从两方面来获取，一是实测结果，一是统计结果，根据情况加以选取。

2. 阻尼结构系统的特征方程

无外激励作用{f(t )}=0 时，阻尼结构系统动力学基本方程成为自由振动控制方程

这是一个二阶齐次常系数微分矩阵方程。现应用这个数学模型来分析阻尼结构系统的振动特性。上式的通解形式可设为

将上式代入自由振动控制方程，由于自由振动控制方程是主次方程，形成为一个二次特征值问题

由此，可解出它的特征对：特征值λci 和特征向量 (ϕci )。其特征值λci  可由下列的特征行列式解出

这是个二次特征值问题，它的特征值可能是复数（包括虚数）根或实数根。它的展开式是λi  的2n 次多项式，有2n 个根，分别为λci，(i=1,2,…,2n)。回代到二次特征值问题方程式，可解出与特征值λci 相对应的特征向量{ϕci }，由下列方程给出

这是阻尼结构系统特征解的一般分析，但难以给出具体的结论和明显的物理意义，需作进一步的分析。

3. 比例阻尼结构系统的特征解

比例阻尼结构系统的振动特性有比较简单明了的结果。将

将

代入动力学方程形成下列特征值问题

或

这个特征方程与无阻尼情况的特性方程相似。引入符号ωc²为

它与无阻尼结构系统的特征方程完全相同，可以得出相同的特征解，它们是：

(1) 特征向量

瑞利阻尼结构系统的特征向量（阻尼振型）(ϕci ) 与无阻尼结构系统的特征向量（固有振型）(ϕi )完全相等，即

这是瑞利阻尼结构系统的一个重要性质，比例阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量，它们生成相同的模态空间（固有模态空间）。

(2) 特征值

从下式

得出，由{λci } 分式定义的ωci² 应等于固有频率平方 ，即

由此得出它的特征值方程

解得第i 阶复共轭成对的特征值为

其中，ξi  称为阻尼比，对于瑞利阻尼情况，它是

一般情况下，阻尼比小于1。

至此，求出了瑞利阻尼结构系统的特征解：由上两式给出的复特征值λci 和式

给出其特征向量为固有模态向量 (ϕi ) 。当得出了瑞利阻尼结构系统的特征解，就可分析它的振动特性。由于瑞利结构系统的特征向量（阻尼模态向量）即是固有模态向量，它的振动特性可在固有模态空间内进行分析。现选取由质量矩阵规一的正则固有模态向量所张成的固有模态空间，它有如下的正交化特性

其中

瑞利阻尼结构系统还存在有对阻尼矩阵[C ] 的正交化特性，因 

这是瑞利阻尼结构系统的又一个重要性质，它的阻尼矩阵连同刚度矩阵与质量矩阵一起在变换到固有模态空间时都被对角化，都具有正交性质。在固有模态空间里，比例阻尼结构系统是刚度解耦，惯性解耦，阻尼解耦。

将所求得的特征解代入它的解

得其第i 阶模态解

其中，Ai，θi  是积分常数，将由初始条件确定。它的振动形态（阻尼模态）是与其相对应的固有振型{ϕi } 相一致，但它不再是一种稳态驻波形式，其振动规律是在不断地衰减着的，阻尼比ξi 给定了它的衰减率。它的特征值虚部给出阻尼频率

这种阻尼频率并不是给出周期性，因它的振动规律不具有周期性，它给出的是等时性，即每个峰值之间的时间间隔是相等的。复特征值λi 又称为复频率，它的虚部给出等时性，它的实部给出衰减率。

柯希阻尼模型（广义比例阻尼模型）在固有模态空间内具有阻尼矩阵解耦的特性，即下式成立

将柯希阻尼矩阵方程代入上式，它是满足上面的正交解耦条件公式的，这时

于是，这类广义比例阻尼结构系统振动特性也可在固有模态向量张成的固有模态空间[Φ ] 内进行分析。为此，对于阻尼矩阵在固有模态空间内具有解耦性的（广义）比例阻尼结构系统可作如下的坐标变换，将它变换到固有模态空间。

代入动力学方程

并前乘[φ]ᵀ，得

利用固有模态向量对[M ]、[K ] 和[C ] 的正交解耦性所给出的关系式

其中

从而得出它的特征值方程

由上式解出它的复频率λi，即是第i 阶复共轭成对的特征值方程式。同时，从方程

也不难看出，广义比例阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量。

综上所述，比例阻尼结构系统的主要特征是它的阻尼矩阵在固有模态空间内具有正交解耦性，其模态参数（特征解）是：实振型（固有振型{ϕi }和复频率，其虚部是阻尼频率ωdi，其实部是阻尼比ξi  与固有频率ωi  乘积的负数）。它的特征向量是固有模态向量，是个实向量，故比例阻尼结构系统的模态特征称之为实模态理论。但它不同于固有模态理论，它的特征值则是共轭复数。这类比例阻尼模型在小阻尼情况下都能近似成立，而被广泛地应用于计算与试验之中。在分析计算时可先在无阻尼情况下求解广义特征值问题，得出其模态向量。然后考虑阻尼的影响，计算其复频率。在模态试验中也常采用这实模态理论作数据处理的。

1. 状态方程及其特征问题

在前面讨论了阻尼结构系统动力学基本方程的特征解，但这样的分析方法不便于分析其规律性。比例阻尼结构系统由于它的阻尼矩阵在固有模态空间内的正交解耦性，在上一节里分析了它的模态特性，给出了实模态理论，但它仅适用于瑞利阻尼和柯希阻尼这类比例阻尼模型。阻尼结构系统的阻尼矩阵在固有模态空间内并不一定具有正交解耦性，对于阻尼矩阵不存在这种正交解耦性的称为一般阻尼结构系统。这类一般阻尼结构系统的模态特性宜在状态空间内分析，无外激励 ({f(t )}=0) 的阻尼结构系统状态方程由

其中，状态向量{y(t )} 是由

定义为

其状态矩阵是由

给出

无外激励的阻尼结构系统状态方程式是个齐次一阶常系数常微分矩阵方程。它的基本解具有如下形式

将它代入状态方程后，构成为2n 阶广义特征值问题，它是

由此解出的2n 特征对是：特征值λci  和特征向量{ψi }，(i=1,2,...2n)。

2. 特征值与状态特征向量

给出的特征方程上式，可分析它的特征解如下：

(1) 特征值

上式的非零解存在条件是它的系数行列式等于零，即

这是一个2n 阶行列式，给出λc 的2n 次代数方程，将解出2n 个特征值。由于状态矩阵[A ] 和[B ] 是不具有正定性的实对称矩阵，特征方程中解出的特征值λci 在小阻尼情况下是共轭或对的复数解，把它记为

其中，λci  与λci *是一对复共轭的第i 阶特征值，ni  是其阻尼系数，ωdi  是其阻尼频率。它的特征值又称为复频率，共有n 对复共轭特征根，(i=1,2,…,n)。

(2) 状态特征向量

对应于特征值λci  的状态特征向量{ψi }由下式解出

由于特征值是共轭成对的复根λci  与λci *，对应的状态特征向量也是复共轭成对的，它们是{ψi } 与{ψi*}，共有n 对复共轭向量 (i=1,2,…,n)。由于结构系统是在物理位移空间内发生振动，它的特征解若是复数必是共轭成对的，藉以保证状态向量解{y(t )}是实向量。上式是个齐次线性代数方程，是个不满秩方程，只能解出具有任意复常数倍的特征向量。

(3) 状态特征向量的正交性

从上式可推得状态特征向量的正交性。特征解λci，{ψi } 是满足特征方程，另一对特征解是λcj，{ψj } 也满足特征方程。现用{ψi}ᵀ 前乘上式得

同理，用{ψi }ᵀ 前乘第j 阶模态的特征方程有

两式相减，利用状态向量[A ] 和[B ] 的对称性，得

和

其中，αi，βi 是复数，由状态特征向量的规一化方法确定。若对矩阵[A ] 规一，即αi=1，这时βi=-λci，它们是正则化的状态特征向量。

3. 位移模态向量

一般阻尼结构系统的振特性在状态空间内作了分析，它的特征解全都是复数：复特征值λci 与复特征向量{ψi}，共有2n个解，对于小阻尼情况，则是n对复共轭的特征对。

在结构动力学分析中，输出的是位移向量{x(t)}，现在分析位移空间内的振动特性。阻尼结构系统的状态向量是由其位移向量{x(t)}和速度向量{x▪(t)}组成，由下式定义。

阻尼结构系统状态向量的齐次解是由下式给出

则它的位移和速度向量可分别写为

则其状态向量可改写为

于是，得状态模态向量与位移模态向量的关系式

用它的n 对复共轭状态模态向量组成的状态模态矩阵是

其中[Λc]是其特征值构成的对角阵，[Φc]是位移模态矩阵

根据状态模态向量的复向量性质，位移模态向量也是个复向量，称之为复模态。位移模态向量也是共轭成对出现，可用它的实部与虚部表示，也用它的幅值和相位表示。特征向量只是确定到常数倍，故它的幅值给出的是幅值比，它的相位给出的是相位差。它不同于无阻尼结构系统的特征向量是一组实向量，也就是说，固有模态向量的幅值只有正、负之别，而无相位差存在。这是由于无阻尼结构系统机械能守恒，在作模态振动时，与位移成正比的弹性恢复力（正赂）同与加速度成正比的惯性力（负向）相平衡的结果。阻尼结构系统由于阻尼的存在，它的机械能不再守恒，除了上述的弹性恢复力和惯性力之外，有与速度成正比的阻尼力作用。从相平面上看，加速度与位移是反相，速度与位移则有90°相位差，由于阻尼分布的任意性导致各点模态位移之间产生相位差。这是阻尼结构系统形成复模态向量的物理原因。但是比例阻尼结构系统，由于它的阻尼分布是与刚度和质量的分布成比例关系等原因，使各点模态位移之间无相位差，只有正、负之别，而退化为实模态向量。这种退化关系只有在比例阻尼结构系统时才存在。

阻尼结构系统的位移模态向量是复模态时，不存在正交性和解耦性，即刚度、惯性和阻尼都没有解耦性。在状态空间内，其状态模态向量才有正交性和解耦性，这由下两式给出。

它们在位移空间内用位移模态向量表示为

或

这是阻尼结构系统的复特征向量的正交解耦条件在位移空间内的表达式。

1. 复模态空间内的状态方程

阻尼结构系统的完整描述是在状态空间内，可在n对复共轭状态模态向量{ψi}，{ψi*}张成为复模态空间[Ψ  Ψ*]内作振动分析。任意一个状态向量可在复模态空间内展开为

这是状态向量的展开定理。

阻尼结构系统控制方程包括状态方程和输出方程两部分。状态方程是由下式给出

出方程由下式给出

现把它们变换到复模态空间内，将任意一个状态向量可在复模态空间内展开方程代入

状态方程式，并前乘[Ψ  Ψ*]得

利用

和

给出的正交解耦性条件，得出解耦后的阻尼结构系统的复模态方程是

以及它的复共轭方程。当没有外加激励{f}=0时，由它的特征方程可解出其复特征值是

解耦后的阻尼结构系统的复模态方程可简化为

根据所作用的外载荷{f(t)}，可解出复模态坐标qi，(i=1,2,…,2n)，再回代到

求出的结构系统的动响应，这就是复模态迭加法。

2. 复模态空间内的位移方程

根据输出方程

这是位移向量在复模态空间内的展开空理。模态位移空间可认为是由n对复共轭的位移模态向量所张成。物理位移空间内的结构系统动力学方程是

将上述方程直接变换到复模态空间内由于对质量、刚度和阻尼矩阵的正交性不成立而不具有解耦性质，不能起降价简化作用，无进一步分析的必要。无外加激励{f}=0作用的阻尼结构系统的一个解可用

形式的模态解给出

将它们代入方程

得

这方程在位移模态空间内也不具有正交解耦特性，不能给出简洁的解耦形式，但从形式上将上式前乘{ki}*}ᵀ（共轭转乘），得

设

其中mi，ci，ki都是实数，则上式简化为

上式中的各个量没有明显的物理意义，仅在形式上与单自由度阻尼系统的动力学方程及其特征值相同。它证实了阻尼结构系统在小阻尼情况下其特征值的复共轭性质，称之为复频率。但在物理位移空间的控制方程对其模态向量没有正交解耦性质。 

3. 复模态向量与实模态向量

从上两小节的分析可知，结构系统的阻尼存在使其振动特性具有复杂性。但不论是怎样的阻尼结构系统，它的振动特性都是由它的特征方程所给出的特征解（模态参数）来描述的。结构系统的模态参数，包括特征值（频率）和特征向量（振型）及其规一化时所定义的模态量（模态质量等）是对阻尼结构系统振动特性的一种完整的描述。

无阻尼结构系统的模态参数是固有频率ωi，固有振型（固有模态向量）{Φi}及其模态质量Mi~。对于质量规一的固有模态向量，Mi~=1，其它情况则是

无阻尼结构系统的模态参数全部是实数，固有模态向量是个实向量，它所张成的固有模态空间是实向量空间，在分析上是很方便的。因此称之为固有模态理论。

阻尼结构系统的模态理论呈现出复杂情况。由于阻尼的存在，特征方程解出的特征值在小阻尼情况下是成对的共轭复根，称之为复频率。其实部给出阻尼的度量，表示衰减率。其虚部给出振荡频率，表示等时性。从物理意义上来讲，频率不存在复数概念，这仅是一种相似性的称呼。阻尼结构系统的振动模态，由于阻尼分布情况的不同出现有两种不同性质的振动形态。若阻尼矩阵与刚度矩阵和质量矩阵具有正比例或级数关系，简称为比例阻尼，它的振动模态与无阻尼的固有模态相一致。比例阻尼条件的存在，它沟通了阻尼结构系统与无阻它结构系统之间的内在联系。其中核心的一条是阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量，从而可在由固有模态向量张成的固有模态空间内来分析结构系统的动力宪学行为。比例阻尼存在的必要与充分条件是柯希阻尼模型所给出的。由于它的模态向量是实向量，故称之为实模态理论。

一般阻尼结构系统是指具有非比例阻尼特性的结构系统。由于阻尼分布的任意性，它的振动模态呈现为复共轭形式，各个自由度上的位移之间不仅幅值不同，而且其相位差也是任意的。在这种情况下，不仅是特征值是复共轭的，它的特征向量值以及它的模态量也都是复共轭的，即全部模态参数是复共轭的。故称之为复模态理论。

结构系统的动响应分析通常是转换到模态空间内进行的。从上面的分析给出了两种模态向量，固有模态向量与复模态向量。结构系统出现哪种模态向量取决于阻尼的因素，这就是说，模态参数是由刚度、质量和阻尼这三个因素所决定的。对于振动频率（特征值），刚度与质量的影响明显，而阻尼的影响较小。对于振动模态（特征向量），三者对之都有影响，阻尼任意分布的非比例阻尼情况给出复共轭模态向量，而阻尼分布与刚和质量分布具有一定关系的比例阻尼情况则退化为固有模态向量。这就是说，阻尼结构系统在一般情况下与无阻尼的固有模态之间无内在关系。只有在比例阻尼这样的特殊情况下，才与固有模态之间沟通，复模态向量退化为固有模态向量。现在讨论这种退化关系，阻尼结构系统的复模态向量记作{ϕci }，无阻尼结构系统的固有模态向量记作{ϕi }。它们二者具有不同的正交性。复模态向量的规一化正交条件是

这里是对[A]规一的，αi=1。而固有模态向量规一化正交条件是

这里是对[M]规一的，Mi~=1。当结构系统是比例阻尼情况时，{ϕci}={ϕi}对于i=j 的复模态向量的规一化条件改写为

由此推出比例阻尼结构系统的复模态量αi 是

为与固有模态向量的规一化统一，将复模态向量重新规一化，放弃对[A]规一，而取对[M]规一，则

由于复模态向量必是共轭成对出现，故它的退化关系式是

以上的分析给出了用复模态向量表示的比例阻尼结构系统的实模态向量。

但到目前为止，从一般阻尼结构系统的复模态参数中尚没有显式的公式可推导出无阻尼结构系统的固有模态参数。