养育无数流体人的涡

众所周知，对于一个刚体，它只能平动和转动。而柔软的流体微团除了平动和转动之外，还可以有形状和体积的变化。形状变化通常呈现出来的运动就是角变形，而体积变化呈现出来的运动形式则为体变形。

流体微团的运动方式虽然可以定性的理解为上述四种形式，可是仅仅用肉眼观察怎么能满足品酒师们的好奇心，唯有喝上一口才能跟这杯酒建立灵魂的交流——同样，流体微团的运动方式，在学者们心中也需要数学表达才能变得更加清晰。

于是，著名的德国物理学家和数学家亥姆霍兹大神在1858年提出了流场速度的分解定理，从而在数学表达上区分了流体微团的运动形式。下图给出了推导的方法，虽然过程很痛苦，还是值得仔细品一品，看看老神仙们到底怎么把有趣的流体变成我们学不会的样子…

针对流体微团的运动特征，流体力学课本常把其分为两类最基本的运动，即无旋运动和有旋运动。当流场中任意流体微团不绕其自身某一瞬时轴转动时，我们称该流动为无旋流动，否则称为有旋或者旋涡流动。

虽然我们吐槽上古大神们总是通过一堆看不懂的公式碾压我们的智商，可是正因为有了这些数学表达，才能让醇香柔美的流体变得有迹可循。根据上一节中的亥姆霍兹速度分解，我们知道流体微团的转动来源，因此，我们可以确定无旋流动的条件为转动部分为零，即：

对于二维问题，更直观的理解则是， X向速度在Y向的梯度和Y向速度在X向的梯度引起的微团旋转效应恰好抵消，微团便失去了旋转的来源。

按照流体力学课本的定义，所有不满足无旋运动条件的流动都是有旋，可是有旋该如何量化呢？

大家很自然的就想到了描述旋涡运动最常用的物理量——涡量。涡量在数学描述上直接定义为流体速度矢量的旋度。估计这会该有小伙伴要问啥是旋度啊？果然出来混迟早要还的，当年为了打魔兽而翘掉的高数课居然还是逃不掉。下图通过涡量的推导和各位小伙伴们一起回顾一下旋度的概念。旋度是向量分析中的一个向量算子，表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

再次回到涡量的定义，上图中的公式和前面推导的亥姆霍兹速度分解也是一致的。即，涡量定义为两个方向的速度在彼此方向上的梯度的差值。如果一方明显占优的话，则意味着当地存在明显的涡量。根据涡量的定义，我们也可以很容易看出来，涡量不为零的地方就一定有旋。

但问题来了，有涡量的地方就一定有涡吗

涡量就像一杯酒的度数，只能反馈出这杯酒的浓烈程度，却不能完全表示酒的质量和特征。

随意打开一个流场的后处理结果，将变量设置为涡量。在能看到旋涡的地方，涡量的值通常都比周围光顺流动的地方要大得多，似乎涡量真的能够表示涡。可是，如果我们再仔细观察流场，会发现在没有漩涡的地方，也未必没有涡量的存在，比如在没有旋涡的边界层附近，涡量通常也很大，这是由于边界层中粘性的作用引起很大的速度梯度，而涡量的计算公式并不能区分旋转和剪切。

试想一个最典型的平板层流流动，Y和Z向的速度均为0，而X向的速度在Y向存在明显的梯度，因此按照涡量的定义，该流动的涡量肯定不为0，可是宏观上并未出现涡。哪儿出了问题呢？

宏观上理解的涡表示流体在绕着某一个点旋转，上述的平板流动的确没有出现宏观上的涡流。然而，在Y向速度梯度的作用下，流体微团产生明显的角变形，也可以理解为流体微团有旋转运动的趋势，只是没有形成宏观的旋涡运动。

正如品酒靠的不仅仅是灵敏的五官，还有品酒师对酒与生活的深刻感悟。而识别旋涡，我们也需要建立更能表征旋涡属性的参数，比如Lambda2和Q因子等等。

既然直接使用速度旋度计算得到的涡量无法准确的评估流场中的涡系结构，咱们就再做一些数学的变换嘛。数学家的思维，你们都懂的。

在推导Lambda2之前，我们先啰嗦一下伽利略不变性。伽利略不变性最早由伽利略于1632年在他的“关于两个主要世界系统的对话”中提到：对于一艘在海面上平静行驶且没有产生晃动的船舶，甲板下方的观察员无法分辨船舶是在移动还是静止。这也成为了相对论最早的启蒙。

啰嗦伽利略不变性的原因是Lambda2的方法符合伽利略不变性，这就意味着对于给定的速度场，如果添加均匀速度场或转换该速度场时，求解Lambda2会产生相同的结果。

数学家们下一步要做的事情，你们都知道啦。“变、变、变”，变出一个神奇的数字来代表涡：基于给定的速度场，将整场的速度梯度张量进行数学变换，得到下图所示的某个携带着流体转动和变形信息的三阶矩阵，求其特征值λ₁、λ₂和λ₃。只有在其特征值至少两个为负的情况下，该位置才是漩涡核心的一部分。如果将上述特征值从大到小排序（λ₁≥λ₂≥λ₃），那么当第二个特征值为负时，就意味着两个以上的特征值为负，这就是将该方法取名Lambda2的原因。

对于一个高明的品酒师，如果总是需要借助一些额外的设备才能准确分辨酒的类别总让人觉得不够高级。而使用Lambda2检测实际涡旋时，也需要人为指定阈值来丢弃小于特定值的全部涡旋，否则流场中的很多区域都会被旋涡覆盖。另外，当地存在多个旋涡的情况下，Lambda2方法可能也难以区分各个旋涡。

因此还有很多学者提出了其他的涡检测方法，比如近两年很火的Liutex方法，最早由德克萨斯大学阿灵顿分校的刘超群教授提出。

根据刘教授的说法，Lambda2和Q因子等方法为第二代涡旋识别法。它们都基于速度梯度张量的特征值，而且都是标量，其结果取决于人为设置的阈值，以将其等值面显示为垂直结构。另外，Lambda2的结果仍会被拉伸和剪切所干扰。

 而Liutex作为第三代涡旋定义和识别方法，它定义为一个向量，它使用速度梯度张量的实特征向量作为方向，并使用局部流体角速度的两倍作为其大小。Liutex的主要思想是从流体运动中提取刚性旋转部分以表示涡旋，从而避免了剪切的干扰。

关于Liutex方法，有学者认为该方法开启了涡旋和湍流研究的新纪元，也有人认为该方法虽有过人之处，然而就烟波浩渺的湍流研究来说，或许仍然只是一小步吧。

面对复杂的旋涡结构和湍流世界，人们的研究也还远未走到完美的终点，上述的各种旋涡判据也在不断发展之中，助力流体工作者探寻更为精妙的涡旋世界。普朗特大师的弟子，也是著名的空气动力学专家库奇曼（Küchemann）曾经将涡旋形容为流体运动的肌腱。如果把主流流动比喻成骨架的话，那么复杂的涡系结构便是让流动变得丰满而有趣的肌腱。

普朗特大师的关门弟子，也是中国著名的流体力学大师陆士嘉先生曾有名言“流体经不起搓，一搓就起了涡”。这句话常常被用来解释流体不能承受切应力的特性，当然也有很多人用它来解释涡的产生。而笔者也觉得这句话精妙的形容了流体和涡的关系，仔细想想自然界或者工程领域那些有趣的流动现象，无不和涡有关，无论是美丽与邪恶并存的卡门涡街，还是划破天际的飞机翼尖涡，都是因为有了涡才有了不一样的个性。