有限元显示算法及隐式算法对比
一、有限元显示算法和隐式算法的原理
1. 有限元显示算法的原理
有限元显示算法（Explicit Algorithm）是一种基于时间步长的数值计算方法，主要用于解决动力学问题，特别是涉及到材料非线性和几何非线性的情况。这种算法的核心在于通过逐步推进时间步长来求解系统的响应。
基本原理：
时间离散化：将时间轴划分为一系列小的时间步长Δt。在每个时间步长内，假设系统的加速度是恒定的。
运动方程：利用牛顿第二定律建立系统的运动方程，即F=ma，其中F是作用在节点上的力，m是节点的质量，a是节点的加速度。
中心差分法：使用中心差分法来求解运动方程。这种方法在每个时间步长内，根据节点的当前速度和加速度来计算下一时刻的位移。
详细步骤：
初始化：定义模型的几何形状、材料属性、边界条件和初始条件。
时间步长循环：对于每个时间步长Δt：
计算节点的加速度：根据当前时刻的节点速度和作用在节点上的力，使用牛顿第二定律计算节点的加速度。
计算节点的速度：使用中心差分法，根据当前时刻的速度和加速度计算下一时刻的速度。
计算节点的位移：使用中心差分法，根据当前时刻的位移和速度计算下一时刻的位移。
更新节点的坐标：根据计算得到的位移更新节点的坐标。
结果输出：在每个时间步长结束时，输出节点的位移、速度和加速度等结果。
注意事项：
时间步长选择：显示算法的稳定性取决于时间步长的大小。一般来说，时间步长需要足够小以确保计算的稳定性和准确性。
材料模型：显示算法通常用于处理非线性材料行为，如塑性变形和接触问题。因此，需要选择合适的材料模型来描述材料的行为。
边界条件：正确定义边界条件对于获得准确的结果至关重要。
2. 有限元隐式算法的原理
有限元隐式算法（Implicit Algorithm）也是一种数值计算方法，主要用于解决静态和准静态问题，特别是涉及到大型线性方程组的求解。这种算法的核心在于通过迭代求解一系列线性方程组来获得系统的响应。
基本原理：
离散化：将连续的求解域离散化为有限个单元，通过单元节点的位移来描述系统的变形。
虚功原理：基于虚功原理建立系统的平衡方程，即系统在任何虚位移下，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。
线性化：对于非线性问题，通过泰勒级数展开将非线性方程线性化，形成一系列线性方程组。
详细步骤：
初始化：定义模型的几何形状、材料属性、边界条件和初始条件。
迭代求解：
假设初始位移：假设一个初始的节点位移向量。
计算内力和外力：根据当前的节点位移，计算作用在节点上的内力和外力。
检查平衡：检查内力和外力是否平衡，如果不平衡，则进行下一步。
求解线性方程组：根据虚功原理建立线性方程组，使用迭代方法（如牛顿-拉夫森法）求解节点位移的修正量。
更新节点位移：将修正后的节点位移更新为新的节点位移。
重复迭代：重复上述步骤，直到满足收敛准则为止。
结果输出：输出最终的节点位移、应力和应变等结果。
注意事项：
收敛准则：选择合适的收敛准则对于确保迭代求解的准确性和效率非常重要。
初始猜测：合理的初始位移猜测可以减少迭代次数，提高计算效率。
线性化处理：对于强非线性问题，可能需要多次线性化和迭代才能获得收敛的结果。
二、有限元显示算法和隐式算法的特点
1. 有限元显示算法的特点
优点：
计算效率高：显式算法不需要在每个时间步长中进行迭代，因此每个时间步长的计算成本相对较低。这使得显式算法在处理大型模型和短时间动态事件（如冲击和碰撞）时具有很高的计算效率。
无条件稳定：显式算法是绝对收敛的，对时间步长的要求不高。尽管为了获得高精度的结果，时间步长通常需要取得很小，但算法本身不会因为时间步长较大而出现不稳定的情况。
适合高度非线性问题：显式算法特别适合处理高度非线性问题，如材料的塑性变形、接触问题和大变形问题。由于不需要进行全局刚度矩阵的求逆，显式算法可以有效地处理这些复杂的非线性行为。
缺点：
时间步长限制：显式算法的准确性严重依赖于时间步长的大小。为了保证计算的稳定性和准确性，时间步长需要非常小，这意味着需要进行大量的时间步长计算，从而增加了总体计算成本。
精度损失：由于时间步长很小，数值舍入误差可能会累积，导致精度损失。此外，显式算法在处理低频响应和长时间模拟时可能会遇到困难。
内存需求大：显式算法通常需要存储每个时间步长的所有计算结果，因此对内存的需求量较大。
2. 有限元隐式算法的特点
优点：
无条件稳定：隐式算法是无条件收敛的，在求解二次方程的同时，会通过牛顿法对每一步进行迭代收敛，直至收敛到指定的偏差。这使得隐式算法在处理非线性和慢速变化的问题时具有很好的稳定性。
适合大型模型：隐式算法更适合于静态和非线性动态模拟，例如结构变形和热传导问题。由于其稳定性和收敛性，隐式算法可以处理大型模型和复杂的边界条件。
精度高：隐式算法在每个时间步长内构建并求解大型线性方程组，因此在处理模型在时间步长内可能发生显著变化的情况时，准确性较好。
缺点：
计算成本高：每个时间步长的计算成本较高，因为需要求解大型线性方程组。这使得隐式算法在处理大规模动态问题时计算成本较高。
内存需求大：由于需要存储和处理大型矩阵，隐式算法通常需要更多的内存和计算能力。
收敛速度慢：对于高度非线性问题，可能需要多次迭代才能达到收敛，这会增加计算时间。
三、有限元显示算法和隐式算法的对比
时间步长 | 需要较小的时间步长来保持数值稳定性 | 允许使用较大的时间步长 |
计算成本 | 每个时间步长的计算成本低，但总体成本可能高 | 每个时间步长的计算成本高，但总体成本可能低 |
稳定性 | 对于快速变化和高频响应的问题可能不稳定 | 对于非线性和慢速变化的问题具有更好的稳定性 |
适用性 | 适合大型模型和短时间动态事件 | 适合静态和非线性动态模拟 |
迭代方法 | 不需要在每个时间步长中进行迭代 | 使用牛顿-拉夫森迭代法 |
准确性 | 对于模型在时间步长内没有发生太大变化的情况准确性较好 | 对于模型在时间步长内可能发生显著变化的情况准确性较好 |
硬件要求 | 通常对内存的需求较小 | 可能需要更多的内存和计算能力 |
应用领域 | 高速动力学和碰撞模拟 | 静态分析、热分析和缓慢的、非线性的动态响应分析 |
四、总结
有限元显示算法和隐式算法各有优缺点，适用于不同类型的问题。显示算法适用于快速变化和高度非线性的问题，计算效率高但精度可能受到时间步长的影响。隐式算法适用于静态和非线性动态模拟，具有无条件稳定和高精度的优点，但计算成本较高。在实际应用中，需要根据问题的性质、模型的大小、所需的准确性和可用的计算资源来选择合适的算法。
