光滑粒子动力学SPH法揭秘-实现真正的无网格计算-附视频教程

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导读：光滑粒子动力学（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）是一种无网格的拉格朗日粒子方法，最初由Monaghan和Gingold于1977年提出，用于解决天体物理学中的星体碰撞问题。

SPH方法的核心是将流体视为一组离散的粒子，每个粒子携带质量、动量、密度等物理属性，并通过粒子间的相互作用来模拟流体的动态行为。SPH方法的核心特征在于其双重近似体系：首先通过核近似将场函数及其导数表示为连续积分形式，继而采用粒子近似将积分方程离散化为可计算的求和形式。这种无网格的特性使其天然适用于大变形、界面追踪和断裂等问题，避免了传统网格方法中因网格畸变导致的数值困难。

在空间离散方面，SPH采用动态粒子作为计算点，这些粒子既承载物质属性又作为数值插值点，通过光滑核函数建立局部相互作用关系，其支持域随粒子运动而自动更新，从而实现了真正的无网格计算。

一、SPH法基本理论

光滑质点流体动力学（SPH）方法是一种典型的配点型无网格方法，其核心思想是通过核函数近似（Kernel Approximation）实现场变量及其导数的离散化表达。在该方法中，计算域被离散为一系列携带物理属性的质点（粒子），而场变量的计算不依赖于固定网格，而是基于相邻粒子间的核函数加权插值，从而实现场函数及其空间导数的传递与计算。

1、配点型无网格法基本原理

力学问题中求解偏微分方程离不开加权残差公式，该公式的基本形式如下：

配点法取δ函数作为检验函数

将式(2)代入式(1)中, 得

式中和分别为计算微分方程残量和边界条件残量的配点个数, 且。配点法的实质是强迫残量在个点上等于零。当配点数等于试探函数的项数时, 式(2-11)中的方程数和未知数相等, 可以求出试探函数中的个待定系数。此时残量和在个配点处等于零, 但在这些点之间可能产生很大的振荡。如果配点数大于试探函数中的项数,将导致超定方程组:

其中系数矩阵为阶矩阵,为阶列阵。此时通常不可能求得一组系数使得残量在所有配点处等于零。式(2-12)可以利用最小二乘法求解, 即令式(2-12)中每个方程的误差的平方和取最小:

或

其中

光滑质点流体动力学方法(SPH)、有限点法(FPM)、无网格配点法(PCM)、hp无网格云法、最小二乘配点无网格法等都是基于配点法。基于配点法的无网格法不需要使用背景网格，效率高，但其稳定性很差。

2、配点型无网格法平衡方程

配点型无网格法的基本思想是令域内各节点满足平衡方程(3-1),边界Γ_t上各节点满足力边界条件(3-2),边界Γ_u上各节点满足位移边界条件(3-3),即

将无网格近似函数(2-32)代入式(4-1)~(4-3)中,得

式中

3、SPH近似算法

无体积力作用时的运动方程为

在SPH中,求解域用个质点来离散。令运动方程式在各节点处满足,并将应力对空间坐标的散度用核近似得

式中表示质点的应力张量。也可以利用式(2-126)来近似应力对空间坐标的散度, 得

式(20)的优点是质点对质点的作用力与质点对质点的作用力相等。可将质点处将速度梯度张量近似为

速度梯度的另一种形式：

式(22)的优点是,如果质点和的相对速度为零,则它们对速度梯度无贡献。利用式(21)或(22)可以由时刻的应力张量求出时刻的加速度,然后利用蛙跳(leap-frog)差分格式得到时刻的速度和时刻的坐标:

式中时间步长。这里加速度和坐标是在时刻计算的,而速度则是在时刻计算的。式(23)给出了时刻的速度,由式(21)或(22)可以得到时刻的速度梯度,进而可得到时刻的应变率:

时刻的密度可以由连续方程得到:

对式(4-82)利用中心差分格式,并将式(4-78)代入,得

再由木构方程可得到时刻的应力

二、SPH专题讲解视频

光滑质点流体动力学（SPH）方法直接基于狄拉克（Dirac）函数的核近似理论，在计算域内采用离散的质点对连续介质进行建模。这种无网格的离散方式赋予了SPH方法在处理大变形、自由表面流动等问题时极高的灵活性。然而，由于其本质上是基于配点法（Collocation Method）对偏微分方程进行离散求解，这种方法在数值上存在固有的不稳定性问题，如拉伸不稳定性和压力振荡等，这些问题在理论上难以完全消除。

为改善SPH方法的稳定性，研究者们提出了多种改进方案，其中SPH与有限元法（FEM）的耦合方法被广泛采用。该方法通过在关键区域引入FEM的网格离散，能够在一定程度上缓解SPH的不稳定性，但本质上仍属于局部优化策略，无法从根本上解决配点法带来的数值缺陷。目前，学术界的主要研究方向集中在核近似方案的优化上，包括核函数的修正、粒子近似格式的改进以及新型稳定化算法的开发等，并已取得显著进展。未来，SPH方法的进一步完善仍需跨学科研究者的共同努力，以提升其在复杂工程问题中的适用性和计算精度。

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