力学科普：纸折螺旋桨和直升机的自动降落

来源：力学科普（ID：lxkp_cstam），作者：田爱平等。原文来自《力学与实践》。

本文摘要（由AI生成）：

本文讨论了螺旋桨下落过程中能量转化的力学原理，以及这一原理在直升机自动降落中的应用。螺旋桨下落时，其势能转化为自身动能和空气动能，旋转越快，传递给空气的能量越多，导致下落速度减慢。直升机自动降落时，失去发动机动力但旋翼继续旋转，产生升力使直升机缓降。文中还介绍了自转旋翼机的工作原理，即通过无动力旋翼自由旋转提供升力实现飞行。文章最后鼓励读者多留心身边事物，从中发现力学原理并享受认识自然的乐趣。

仅仅一根小纸条就能够制作一个很好玩的螺旋桨，如图1所示。也许读者自己就曾经制作过这样的小玩具，为童年的自己或以长者身份博身边孩童一笑。将此小制作从较高位置释放，其将会旋转着慢慢下落。玩具虽小却蕴含着深刻的力学原理，并在工程中得到应用。

图1 纸折螺旋桨

图2 制作螺旋桨的纸条

若改变制作方法，还可以有新的构型。首先，将如图2所示纸条的实线部分剪开；其次，将纸条身部沿着中心线对折，并用双面胶粘好；再其次，将剪开部分以虚线为轴前后反向翻折，形成两翼，两翼间夹角无限制；最后，在身部末端卡上回形针。将这种构型的螺旋桨称为构型2，如图3所示。

图3 构型2的制作

若采用与构型1完全相同的制作方法，但把材料由普通复印纸换成硬卡纸，两翼间夹角等于180°，且两翼与身成直角，称此构型为构型3。不妨试一试构型2及构型3 的下落效果，很遗憾，这两种构型下落时都不会旋转，且落地时间较构型1短很多。这是什么原因呢？

图4 初始状态受力

此种状态下两翼上阻力合力与螺旋桨质心轴平行，两翼阻力及重力形成共面平行力系，且对质心轴无力矩。若螺旋桨能一直保持此种形态，螺旋桨下落时将不会旋转。构型3就是这种受力情形，硬卡纸的面外弯曲刚度较大，释放时几乎不会弯曲，阻力对竖直质心轴无驱动力矩，因此其不会旋转起来。

但普通复印纸面外弯曲刚度非常小，在阻力作用下会发生弯曲，两端上翘，作用在翼上的阻力合力的大小和方向均会发生变化。两翼上的阻力合力会向螺旋桨的中心轴线方向偏转聚拢，螺旋桨释放后，瞬间便在阻力的作用下转变为两翼的弯曲状态。在不改变问题本质的前提下，我们假设两翼形状不发生变化，只是绕着翻折线转过一个角度，转变为两翼夹角小于180°的情形，受力如图5所示。此种状态下，两翼上阻力合力与螺旋桨质心轴有一夹角，而且阻力合力作用线与质心轴不共面。将阻力分别沿着竖直和水平方向分解，可看出两翼上的阻力形成力螺旋（两竖直分量合成主矢，两水平分量形成主矩），会对质心轴产生力矩，使螺旋桨转动起来。显然，若使构型3两翼的夹角小于180°，其便能旋转了。对于构型2，在阻力的作用下，不管两翼弯不弯曲、弯曲程度如何，两翼上的空气阻力与螺旋桨整体所受重力始终共面，不会对螺旋桨质心轴产生力矩，螺旋桨不会旋转。同时，由于纸条的面外弯曲刚度太小，在两翼不旋转的状态下落时，几乎会贴在一起，就像一张竖直的纸条快速落地。

图5 开始旋转时受力状态

旋转起来的两翼与不旋转的两翼有很大不同。旋转状态下，翼面本质上就是一平板机翼，其在旋转过程中会产生惯性力和空气动力。单个翼片的受力如图6所示（仅绘出一翼受力且翼根处的约束力未画出）。

图6 旋转状态翼片受力

空气动力会使翼面弯曲和倾斜，外端部上翘，惯性力矩和重力矩起到对抗空气动力力矩的作用，制约了上翘趋势。此动态过程中，可以将空气动力力矩看作干扰力矩，而惯性力矩和重力矩则是恢复力矩的角色。空气动力力矩使翼面上翘的过程，同时也是惯性力矩增长的过程，但此时重力矩会有所减小，3种力矩中，重力矩的作用相对较小，空气动力力矩和惯性力矩起主导作用。当3种力矩达到平衡时，翼面倾角就能基本保持稳定了。空气动力的特征与翼面的速度分布特征有关。现以翼片中心线上一点为例进行速度分析，如图7(a) 所示。

以质心轴平动坐标系为动参考系，地面为固定参考系，以翼片中心线上一点为动点，则随质心平动的速度为牵连速度ve，竖直向下；绕质心轴转动的速度为相对速度vr，沿水平方向；相对地面的绝对速度为va。据速度合成定理可知，三者关系如图7(b) 所示，为

图7 旋转时翼片速度矢量关系

假设螺旋桨的旋转对翼面下方的空气扰动较弱，可以忽略不计。翼面的迎角由螺旋桨下落速度和绕中心轴转动的角速度共同决定，依据相对性原理，从翼面速度矢量图中可以看出，若假定翼面不动，可以认为气流从翼面前下方吹来，如图7(c) 所示。气流与翼面的夹角称为迎角，气流吹向翼片下表面时，迎角为正；气流吹向翼片上表面时，迎角为负。此处的迎角为正迎角，能够产生向上的升力分量，此分量能对抗部分重力，使螺旋桨向下的平动加速度降低，进而延长下落时间。翼面上产生的空气动力的阻力分量有阻碍翼面旋转的趋势，两翼面上的阻力共同作用，形成对螺旋桨绕竖直质心轴的阻力矩，当此力矩与前述的驱动力矩（力螺旋的力偶分量） 达到平衡时，螺旋桨将停止加速，以一个比较稳定的角速度旋转。另，从广义能量守恒的角度同样能解释为何旋转的螺旋桨下落时间较长，若忽略热能等变化的影响，此问题则可近似以机械能守恒问题对待。下落过程中，以螺旋桨及螺旋桨所能扰动的所有空气作为研究对象。螺旋桨下落的过程，就是螺旋桨本身的势能向自身动能以及空气动能转化的过程。若螺旋桨不转动，其对空气的扰动也会较小，空气的动能则可以忽略不计，螺旋桨的势能几乎全部转化为自身下落时的平动动能。显然，速度会更快，下落时间会更短。旋转螺旋桨自身动能由两部分组成，分别为随质心下落的平动动能和绕质心轴转动的动能。转动越快，转动动能以及对空气的扰动（与迎角有关）也会越强，因转动而传递给空气的能量也会越多。总的机械能是守恒的，转动动能和空气的动能所占比例增高，平动动能所占比例必然减小，表现为下落时的平动速度就会较小，下落时间就会更长。

直升机在发动机停车时的自动降落过程中，升力的产生与纸折螺旋桨旋转降落过程中升力的产生原理相同，只是前者的动力学过程比后者更复杂一些。

自动降落过程中，直升机旋翼与纸折螺旋桨两翼相似，旋转时同样能提供使直升机缓降所需的升力。但是，直升机旋翼平面投影面积较小，且向上倾斜的角度很有限；再者，旋翼纵向中心线与旋翼转轴距离较小，类似于图4中纸折螺旋桨的驱动力矩非常有限，产生的升力不足以使直升机安全缓降。实际上，自动降落过程中，旋翼旋转的驱动力矩来自于作用于叶片上的空气动力。

首先明确一些概念，通常将旋翼叶片横截面称为翼型，翼型前缘与后缘的连线称为翼弦，翼弦与旋翼旋转平面之间的夹角称为桨距，翼弦与前方来流流线的夹角称为迎角。旋翼上的升力和阻力与旋翼上的当地迎角有关， 当迎角过大时，旋翼上表面大部分区域出现涡流，升力急剧降低，阻力急剧升高，此现象称为失速。

当发动机停车时，旋翼还在继续旋转，升力向上。因失去发动机动力，旋翼转速逐渐减小，提供的升力不足以对抗重力，直升机高度开始下降，单位时间内下降的高度称为下降率。此时，旋翼纵向上各点的速度矢量关系类似于纸折螺旋桨翼片上点的速度矢量关系（如图7所示），不同点的绝对速度不同，当地旋翼迎角也会不同。如图8中所示，选择旋翼上3个不同位置绘出速度矢量关系，空气动力用F 表示，上标1、2、3代表3个不同位置；各位置牵连速度相同，不以上标区分。

直升机旋翼翼尖区域迎角较小，气动力合力相对于竖直方向向后倾斜，其水平分量阻碍旋翼旋转，如图8中位置1，旋翼上气动力有此特征的区域称为“被驱动区域”。随着离桨榖距离的减小，当地迎角逐渐变大，气动力合力相对于竖直方向逐渐转变为向前倾斜，其水平分量能驱动旋翼旋转，如图8中位置2，旋翼上气动力有此特征的区域称为/驱动区域"。持续靠近桨榖，迎角继续增大，当迎角过大时，旋翼将会达到失速状态，如图8中位置3，此区域称为“失速区域”。3种不同区域在图8中用虚线示意。

图8 自动降落时旋翼的气动力

3个区域的大小随旋翼桨距、下降率以及转速不同而变化。当直升机发动机突然停车时，若能及时合理控制旋翼桨距，调整3个区域的比例关系，就能实现旋翼的持续旋转并提供一定升力使直升机缓降，减少可能损失。自转旋翼机旋翼上的空气动力与纸折螺旋桨和直升机自动降落时的叶片上的空气动力相似，运用螺旋桨推进，通过无动力旋翼自由旋转提供升力的飞行器称为自转旋翼机，如图9所示。自转旋翼机前进时，旋翼以小角度向后倾斜与前方相对来流作用，产生的空气动力能驱动自身旋转，并持续提供整机所需升力，实现升空飞行。

图9 自转旋翼机