大变形问题-网格单元畸变，LS-DYNA ALE方法值得拥有

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导读：在数值模拟中，采用Lagrangian网格方法处理大变形问题时存在显著地局限性。当材料经历剧烈变形时，Lagrangian单元会随之发生严重畸变，这种网格畸变现象会显著降低计算精度，尤其对高阶单元的影响更为突出。具体而言，单元畸变会导致以下数值计算问题：

首先，积分点处的Jacobian行列式可能出现负值，这不仅会迫使计算过程中断，还可能引发严重的局部误差；其次，畸变会导致显式算法中稳定时间步长大幅缩减。对于涉及极端大变形的模拟工况，往往需要进行频繁的网格重划分操作，这一过程不仅计算代价高昂，而且在新旧网格间进行变量投影时不可避免地会引入额外的数值误差。

一、任意拉格朗日-欧拉方法产生原因

在某些特定的物理问题中，采用Lagrangian方法会面临根本性的局限。典型的例子包括高速流体动力学问题，这类问题的研究重点往往集中在特定的空间子域（如机翼绕流区域）；以及涉及材料流动穿过固定空间区域的物理过程（如射流现象）。对于这类问题，Eulerian方法展现出更显著的优势。在Eulerian有限元框架中，计算单元在空间上保持固定，而材料则在单元内部流动。这种描述方式有效避免了因材料大变形导致的网格畸变问题。然而，该方法也带来了新的挑战：由于材料持续穿越单元边界，使得本构方程的处理和状态变量的更新变得尤为复杂，这构成了Eulerian方法的核心难点。

然而，单纯采用Eulerian单元处理移动边界和复杂相互作用问题时仍存在显著困难。为克服这一挑战，研究者发展了一类融合Lagrangian和Eulerian方法优势的混合技术——任意拉格朗日-欧拉方法（Arbitrary Lagrangian-Eulerian, ALE）。ALE有限元格式的核心目标在于：通过巧妙结合两种描述体系的优势，同时最大限度地规避其固有缺陷。正如其名称所示，ALE方法允许用户根据具体问题需求，在纯Lagrangian描述和纯Eulerian描述之间实现任意配比。这里的"任意性"体现在用户可以自主定义计算网格的运动方式。不过，这种灵活性也带来了新的要求：为了有效避免网格严重畸变，用户必须审慎设计网格运动策略，这一过程往往需要丰富的数值模拟经验，从而对使用者提出了更高的技术要求。

二、LS-DYNA ALE流固耦合专题

前不久，我在仿真秀独家发布了《LS-DYNA ALE流固耦合专题18讲：鸟撞/船舶/爆炸/激光融化/射流仿真》视频课程。本系列内容将逐层剖析ALE法，即日起，我将撰文讲解，并附带LS-DYNA中ALE法的应用案例便于大家能进一步理解ALE法的深层理论。本系列课程内容安排如下：

《LS-DYNA ALE流固耦合专题18讲：鸟撞/船舶/爆炸/激光融化/射流仿真》

首先，在ALE框架内系统讨论运动描述方法。在这一更普适的框架中，需要引入被称为参考系（或称ALE坐标系）的额外参考坐标系。该坐标系需要精确描述网格运动特性，并明确表达材料与网格各自的速度和加速度关系。本节还将详细分析ALE格式向Lagrangian和Eulerian格式的特殊退化情况，以及ALE描述中映射关系的约束条件。

接下来重点阐述ALE格式的守恒方程体系。基于数学处理的便利性，我们以Eulerian守恒方程为基础进行拓展。值得注意的是，ALE弱形式与更新的Lagrangian格式具有高度相似性，其关键区别在于质量守恒方程的处理方式：ALE描述中需要通过偏微分形式的连续方程来处理，而Lagrangian格式则采用代数方程实现。

最后将系统总结ALE控制方程，并给出其弱形式表达，同时建立有限元近似方程。由于弱形式与更新的Lagrangian格式的相似性，离散动量方程的构造也较为相似，主要差异体现在惯性项的处理上——ALE弱形式包含了时变质量矩阵这一重要特征。

三、认识ALE连续介质力学

1、材料运动、网格位移、网格速度和网格加速度

在 ALE 方法中, 必须描述网格和材料的运动。材料的运动如前面的描述为:

（1）

式中是材料坐标。函数将物体从初始构形映射到当前或者空间构形。尽管在本书中通篇称其为运动，但在这一章中我们将常常称它为材料运动以区别于网格运动。它和应用于描述 Lagrangian 单元运动的映射是一致的。在 ALE 格式中,我们考虑另一个参考域,如图 7.1 所示。这个域称为参考域或者ALE 域。由表示质点位置的初始值，因此，

(2)

坐标称为参考或者 ALE 坐标。在多数情况下,,所以。应用参考域描述网格的运动,独立于材料运动。在编程中,应用域构成初始网格,在整个计算中,它与网格始终保持重合,因此它也被认为是计算域，网格的运动描述为：

（3）

这个映射在 ALE 有限元格式中扮演了一个关键的角色。通过这个映射,在 ALE 域中的点被映射到空间域中的点。

空间域

图 1 在Lagrangian,Eulerian和ALE域之间的映射

在图1 中出现了公式 (1) 和 (2), 通过函数的复合, 我们可以将 ALE 坐标与材料坐标联系起来:

（4）

从上面可以看到,材料坐标和 ALE 坐标之间的关系是时间的一个函数。由网格运动和映射的复合可以表示材料运动:

（5）

将会看到,在 ALE 算法中,网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。如果映射是可逆的, 通过上面函数的复合, 则可以重新建立材料的运动。我们现在定义网格运动的位移、速度和加速度, 它们分别称为网格位移、网格速度和网格加速度。网格位移定义为：

（6）

注意上面的定义与材料位移的定义的相似之处。在材料描述中,为了得到网格位移, ALE 参考坐标代替了材料坐标。网格速度也类似地定义为材料速度:

（7）

在上面,ALE坐标是固定的; 在材料速度的表达式中,材料坐标是固定的。在公式 (7) 中采用了 3 个标记。当直接给出独立变量时,我们简单地应用对时间的偏导数以表示网格的速度。如果没有直接给出独立变量, 我们将指定固定坐标, 其表示方式或者是在竖线后面跟随一个下角标,或者是在括号后面跟随下角标“, ”,如上所示。

竖线后面跟随一个下角标,或者是在括号后面跟随下角标“, ”,如上所示。

网格加速度为

（8）

在 ALE 网格而不是 Lagrangian 网格中, 网格加速度和网格速度没有任何物理意义。当网格是 Lagrangian 时, 它们对应于材料速度和加速度。

2、材料时间导数和传递速度

在 ALE 描述中,场通常表示为 ALE 坐标和时间t 的函数。材料时间导数 (或全导数) 必须通过链规则得到,类似于用Eulerian 描述获得材料时间导数的过程。考虑一个指定的函数 ,利用链规则,给出:

(9)

我们现在定义参考质点速度为

(10)

将公式 (10) 代入式 (9), 给出如下材料时间导数 (或全导数) 的表达式:

(11)

在下面将要给出的公式中,ALE 场变量通常作为材料坐标和时间的函数处理。因此,以空间梯度的形式可以很方便地建立材料时间导数。为了这个目的, 我们首先建立材料速度、网格速度和参考速度之间的关系。我们从材料运动的表达式 (7.2.1) 开始,并使其等于函数的组合,从图 7.1 可以很容易地看出它与材料运动之间的等价性。可以得到与公式 (7.2.5) 同样的表达式:

(12)

这里最后一个表达式证明了运动是网格运动和映射的复合。对于材料速度,应用第三项建立链规则的表达式, 给出

(13)

这里我们利用了网格速度的定义 (7)。由式 (10) 我们可以重写上式右侧的第二项

(14)

现在我们定义传递速度c ,作为材料速度和网格速度之间的差:

(15

利用公式 (14) 表示然后代入式 (15),得到

(16)

本节内容从ALE连续介质力学框架开始讲起，介绍了不同描述框架之间的映射关系，本节内容将帮助读者滤清ALE的本质。其本质并不是单纯的某种计算偏微分方程的方法而是一个相对独立的连续介质描述框架。

四、LS-DYNA从入门到精通视频课程

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