该篇，偷个懒，把以前一二三四，集 合在一起，算完结篇吧。经过来回重复的学习以及总结，不敢说真的了解了吧，但是最起码，再看到MOS电容的那些工作区域，没有发怵的感觉了。(1) 不同材料的能带图大概是怎么来的？
如果把绝缘体，半导体，导体三种材料的能带图画在一起的话，大概是这个样子的。带隙Eg大，导带中没有电子，价带中占满电子的是绝缘体；带隙Eg小，导带中没有电子，价带中占满电子的是半导体，这是在T=0K的时候；导带中部分被电子占满，或者导带和价带重叠的，是导体。但是，看到这些能带图的时候，会不会想知道，这到底是怎么来的呢？在量子力学中，电子表现出波粒二象性，所以除了会受到原子核对其的库仑力外，其运动的轨道的周长需要是德布罗意波长的整数倍。这个我把它当成已知条件，虽然我还有十万个为什么，但是我决定不深究了。尽管人生不应该设限，不过还是要有自知之明，要是深究下去，估计我的心力要被耗光了。还是等我心力再足一点，我再来尝试。在上面这些已知条件下，经过一番计算，可以知道这个电子运动的轨道半径r和电子的能量E都是离散的(以下是针对氢原子的推导)。不过呢，这个离散是有条件的，就是需要电子被束缚的情况下，也就是电子的动能不足以克服势能的前提下，即En<0的时候。如果En大于0，即电子为自由电子时，其能量是连续的。所以，当两个氢原子离的很远的时候，电子的能量能级是大概是这样的，他们具有类似的能级。泡利不相容原理说，在一个空间内，不可能有两个电子处于相同的能级。所以当两个氢原子靠的很近的时候，能级就会发生分裂，变成两个挨的很近的能级。而固体中有很多个原子，所以很多离散的能级凑在一块，就变成能带。为了能更好地理解能带图，可以用碳原子来进一步叙述。之所以用碳原子，一方面是因为它是硅等的同族元素，位于元素周期表的同一列，另一方面，电子数是同列中最小的。当碳原子之间的距离，从无限远处拉近的时候，会有如此的变化：- 离散能级1s(上面有2个电子)会演变成能价带，完全被电子占据；
- 能级2s(上面有2个电子)，2p(可以有6个电子，只占了2个)之间会发生发生交叠分裂成价带(完全被电子占据)和导带(完全没有电子)到此，应该能大概理解，那个文章开头的能带图是怎么来的，为什么在T=0K的时候，半导体的价带中是被电子完全占据的，导带中没有电子。
(2) 为了能分析MOS电容，还得在材料图上添砖加瓦
虽然知晓了能带图大概是怎么来的，但是想要分析MOS电容，还需要在能带图上加上点东西。电子是费米子，所以电子的占据概率符合Fermi-Dirac分布，严谨详细的推导见文献[1]。在本征半导体中，n=p，所以其费米能级位于禁带中。当费米能级为Efi的本征半导体，进行p型掺杂后，费米能级Ef会下移；进行n型掺杂后，费敏能级Ef会上移。(3) MOS中三种材料的能带图
MOS，是metal-oxide-semiconductor，很好的反应了MOS的材料组成。虽然metal大多数情况下是导电性很强的多晶硅，但是不妨碍把它当成metal来进行分析。
在上篇中，有讲到p型半导体的费米能级是处于本征半导体费米能级Efi的下方。
因为绝缘体的能带图和本征半导体的能带图，除了禁带宽度有区别外，很类似，所以直观上，可以做一下迁移，也就是绝缘体的费米能级Ef也位于禁带中。
但是金属呢？
金属的能带图有两种，如下图所示，一种是部分填充，存在禁带；一种是价带和导带重叠。所以我理解的时候犯了难，我不知道怎么迁移了
。
deepseek说，在T=0K时，费米能级定义为电子占据的最高能级，我琢磨琢磨，应该可以接受。
因为在[2]中，有说，能级被电子占据的概率，符合Fermi-Dirac分布，即：
所以，当E>Ef时，能级被电子占据的概率是0，也就是说，当T=0K时，费米能级Ef是电子占据的最高能级。
又因为两种能带的金属，不管是部分填充还是价带和导带重叠，在导带中，都有电子，所以费米能级是位于导带内。
所以，MOS中三种材料的能带图，如下图所示。
但是，要分析这三种材料相互接触时，能带图的变化，还需要另外两个量。
一个是材料的电子亲和性(electron affinity)，其是材料导带底与真空能级之间的能量差。在真空能级处，电子彻底放飞，从材料中脱离出来，进入真空中。电子亲和性，主要由材料本身决定，不依赖于费米能级的位置和材料的掺杂浓度。
一个是功函数，其是材料的费米能级与真空能级之间的能量差。
将这两个量，添加到MOS中三种材料的能带图，则是：
(4) 当三种材料接触后，会怎么样？
如果三种材料独立不接触的时候，各自的能带图，如下图所示。
为了让三种材料接触后，VG=0时，三者的费米能级都在同一水平线上，如下图所示，需要做2个假定[2]，一个是在oxide和semiconductor里都没有净电荷，这样在没有外加电压的时候，三种材料各处的电势都为0；一个是metal的功函数等于semiconductor的功函数。
按照Ali教授视频所讲，Xm'和Xs'应该保持不变，因为这是材料本身的特性。(不过，这里有一点点疑惑，因为如果是Xs'保持不变的话，那感觉就出不来oxide-semiconductor接触面处的bending了，所以，我在想，教授是在VG=0的情况下讲的，虽然手势比划的是接触面处，其实是指oxide与偏远处的n-type semiconductor之间的能量差？暂时先忽略这一点)。
当VG>0时，金属的费米能级Ef,m往下移动，而Xm'不变，所以代表oxide的矩形的左边框开始往下移动，此时右边框保持固定(或者会稍稍下移？？因为[3]中讲，当Ef,m往下移动的时候，会带着半导体与氧化物接触面处的能级也往下移，从而出现bending，暂时也先忽略这一点)，如下图所示。此时，在oxide-semiconductor处，应该往哪倾斜，还未标注。
在[3]的3.1节中，Mark教授，介绍了通过电势来判定oxide-semiconductor接触面处能级的倾斜方向。
倾斜代表什么呢？
先直观上来推测一下，VG>0，则金属与oxide的接触面处产生正电荷，因为是n-type semiconductor，所以里面的多子是电子，电子会被金属侧的正电荷吸引，在n-type semiconductor和oxide接触面聚集，也就是说，在该接触面处电子浓度增加。
而半导体中的载流子浓度的公式为：
接触面处Ef与Ei之间的间距，与本征半导体(x--∞)相比，变大，所以接触面处的电子浓度变大，与上述直观推测相符合。
该工作区域，被称为accumulation。也就是说，当半导体是n-type，VG>0时，为accumulation；类似，当半导体是p-type，VG<0时，为accumulation。
在[3]的3.1节中，Mark教授，介绍了通过电势来判定oxide-semiconductor接触面处能级的倾斜方向。
倾斜代表什么呢？
先直观上来推测一下，VG<0，则金属与oxide的接触面处产生负电荷，因为是n-type semiconductor，所以里面的多子是电子，所以电子会被金属侧的负电荷排斥，从而留下不能移动的正离子，也就是说，在n-type semiconductor和oxide接触面处开始形成耗尽层。
而半导体中的载流子浓度的公式为：
接触面处Ef与Ei之间的间距接近于0，自由移动的电子和空穴都近似等于ni, 浓度小，且电子和空穴的电荷基本抵消。与上述直观推测相符合。
该工作区域，被称为depletion region。也就是说，当半导体是n-type，VG<0但又不是很小的时候，为depletion region；类似，当半导体是p-type，VG>0时，但又不是很大的时候，为depletion region。
金属的费米能级进一步向上移动，同时接触面更加弯曲。
而半导体中的载流子浓度的公式为：
所以在n-type semiconductor和oxide的接触面处，空穴的浓度要大于电子的浓度，开始呈现出p-type semiconductor的特性，也就是说，在接触面附近，半导体的类型发生了反转，称为inversion。这个时候空穴的产生，可能就没有那么直观了，这也是我当初看着razavi的模集时又来看半导体物理的原因。也就是说，对于MOS电容，这些空穴主要来源于半导体中的热激发。参考文献：
[1] Donald A. Neamen, Semiconductor Physics and Devices
[2] Ali Hajimiri, Analog
