NFX|浅谈形函数

形函数（Shape Function） 

     是有限元方法（Finite Element Method, FEM）中的一个重要概念，用于描述单元内部场变量（如位移、温度等）的空间分布。它的作用是将单元内部的场变量表示为单元节点值的插值形式   

     形函数是有限元方法的核心工具之一，它将复杂的连续问题离散化为有限个单元和节点的问题。通过形函数，可以将局部的节点信息扩展到整个单元，从而实现对复杂问题的数值求解。    

   单元的定义是从假设单元的位移场形状开始的，假设的单元位移场用形函数来表现。除非特别注明外，本节中介绍的位移场同样也适用于热传递分析中。需要注意的是本节中使用的索引标志不遵循求和约定(summation convention)。

    形函数的阶次越高，单元形状越复杂，单元适应能力也越强，求解应力问题时所需单元数量越少，因而，平衡方程组的阶较低，求解过程所花费的时间也越少

举例：

    想象你要画一条光滑的曲线，但手里只有几个固定点（比如3个钉子）。形函数就像你手里的一把"魔法尺子"——它用这几个固定点的位置，就能帮你算出整条曲线上任何位置的高度。

    假设你拉着一块橡皮膜的四角（四个节点），想知道膜中间某处的拉伸程度。形函数就像一组计算公式，能根据四个角被拉扯的程度，推算出橡皮膜上任意点的变形情况。

关键点：

1. 节点指挥官：形函数让少数节点（关键点）能"指挥"整个区域的变形

2. 数学桥梁：把已知的节点数值（如位移/温度）传递到区域内的每个点

3. 形状配方：就像做蛋糕的配方比例，决定不同位置受各个节点影响的程度

用教室里的比喻：
     把课桌拼成一个大组（相当于有限元网格），每个桌角是一个节点。当某个同学（节点）移动位置时，形函数就像隐形的弹簧，决定整个桌面（单元）会如何跟着变形——离得近的地方影响大，离得远的影响小。

示例：

• 一维单元

2节点形函数

2节点埃尔米特(Hermite)形函数

且、l:单元长度

• 二维单元

3节点三角形单元

6节点三角形单元

三角形单元的节点位置与自然坐标系

4节点四边形单元

8节点四边形单元

四边形单元的节点位置与自然坐标系

• 三维单元

4节点四面体单元

10节点四面体单元

四面体单元的节点位置与自然坐标系

6节点五面体单元

15 节点五面体单元

五面体单元的节点位置与自然坐标系

5节点或13节点的五面体单元为棱锥形状，虽然使用退化形函数的较多，但此形函数存在数值积分问题[5]，所以在midas NFX中使用下列形函数。

5节点五面体单元

13 节点五面体单元

五面体(棱锥)单元的节点位置与自然坐标系

8 节点六面体单元

20 节点六面体

六面体单元的节点位置与自然坐标系

   将上述形函数用于下方的有限元公式时需要使用数值积分方法。刚度矩阵、质量矩阵、荷载向量、单元内力的计算都需要数值积分，midas NFX中使用的数值积分法有高斯(Gauss)积分法和罗贝托(Lobatto)积分法。

数值积分方法的种类与适用单元

5.Bedrosian, G., “Shape functions and integration formulas for three-dimensional finite element analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 35, 1992

6. Hinton, E., Tock, T. and Zienkiewicz, O.C., “A Note on mass lumping and related processes in the finite element method,” Earchquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 4, 1976