有限元基础知识：增强应变 （EAS）

上次说到了完全牛顿法与修正牛顿法，又基于修正牛顿法引入了线搜索相关的知识，有限元基础知识：牛顿法与修正牛顿法有限元基础知识：线搜索现在介绍另一类迭代方法，割线类迭代方法，也称之为拟牛顿法（Quasi-Newton)。对于割线类迭代方法，也就是这里说的拟牛顿法，核心思想也比比较简单，可以这么思考：完全牛顿法需要每个迭代步都计算切线刚度矩阵，费时费力修正牛顿法虽然规避了上述问题，但是迭代次数往往过多那么我们大概预估一下切线刚度矩阵吧首先我们在第j个迭代已经计算了切线刚度矩阵的基础上计算：注意这里的我们并没有更新到,那么基于我们计算出来的,我们可以执行如下计算，这里就与完全牛顿法不同，我们做一个假定：而其中可以看到这个和完全牛顿法中在等式右侧向量是完全不同的，我们将完全牛顿法中的替换成了。这样我们其实是构建出了与步之间的一个割线方程，其得出的刚度矩阵为类似于下图的割线方向：下面我们进行一些公式转换，可以得到多种“近似”的刚度矩阵更新办法，其中一阶形式为：但是观察上面的式子我们可以看到，其虽然可以无需进行重复的单元计算去更新刚度矩阵，而还是要进行麻烦的矩阵分解(往往最为耗时)，就其实在一定程度上失去了意义。所以科学家们就提出了，直接更新刚度矩阵逆矩阵的方法，其中最出名的就是BFGS（Broyden–FletcherGoldfarb–Shanno）更新虽然上述公式看起来十分复杂，但是在真正的实现过程中，就避免了矩阵的重新计算与分解，很多vector与matrix的结果都可以储存起来用于更新，其实现过程也有很多细节，这部分则留到下次说。现在可以得到的结论是，由于其刚度矩阵是一直更新的，但又仅仅是近似的切线刚度矩阵，拿割线代替切线，那么其收敛性往往是弱于完全牛顿法的，但一般又好于修正牛顿法，一般来说相比完全牛顿法的二次收敛，我们往往称之为superlinear收敛性，意思就是收敛ratio>1.0。总的来说这个方法的好处，就是以相对小的代价提供了接近切线刚度矩阵的刚度更新，所以往往计算效率都能提高。然而由于有限元分析的复杂性，有的时候割线刚度矩阵并不能很好的模拟切线，所以与其说其在有限元中用的多，近些年来BFGS这类方法反而是在优化领域用的更多。来源：大狗子说数值模拟