LS-DYNA中的接触算法理论
引言
在工程仿真领域，接触和碰撞问题的模拟至关重要。以跌落试验仿真为例，需要通过滑移界面精确模拟部件之间的接触、相对滑移以及最终分离的动态过程。在制造工艺仿真中，滑移界面的应用更为广泛：薄板成型过程中模具与工件的接触交互、机械加工中刀具与工件的动态接触、以及金属挤压成形过程等，都需要借助滑移界面进行精确建模。值得注意的是，碰撞问题的数值模拟必然涉及接触分析，因为碰撞物体在接触后会保持持续相互作用，直至被稀疏应力波所分离。
在商业有限元软件中，接触问题的数值处理通常采用法向-切向分解策略。在法向行为方面，算法需要严格满足不可侵彻性条件（Non-penetration Condition），并通过需获得物体的接触力；在切向行为方面，普遍采用经典的库伦摩擦定律（Coulomb's Friction Law）来描述接触面间的相对滑动行为。这种解耦处理方法既保证了接触约束的物理合理性，又兼顾了数值实现的可行性，已成为工程仿真中接触问题求解的标准范式。综上所述，本文将着重介绍在冲击爆炸问题中最常见的库伦摩擦定律与基于罚函数法的不可侵彻条件。
Coulomb摩擦
Coulomb摩擦模型源于刚体的摩擦模型。当Coulomb 摩擦模型应用于连续体时,它们应用在接触界面的每一点,给出如果A和B是在x处接触，则
其中k是一个变量,由动量方程的解答确定。两个物体在一点处接触的条件意味着法向力
,因此,两个表达式的右端项
总是正值。已知的粘着条件可由式(1)描述：当接触点处的切向面力未达到临界阈值时，两接触体在切向不发生相对运动，即处于完全粘着状态。式(2)则表征滑动状态，该方程的第二项物理意义在于：切向摩擦力矢量的方向必须始终与相对滑动速度方向相反。
从本构关系的角度来看，Coulomb摩擦定律与刚塑性材料模型具有显著的相似性。若将切向相对速度类比为塑性应变率，切向面力视为应力，则式(1)中的第一个关系式可解释为屈服函数。该模型表现为：当应力状态未达到屈服条件（即式(1)不满足）时，系统表现为刚性响应（切向速度为零）；一旦应力超过屈服阈值，系统将产生塑性流动（切向相对运动），其方向由式(2)确定。这种应力-速度关系与经典刚塑性本构模型的特征完全对应。需要指出的是，Coulomb摩擦定律还存在其他若干等效的数学表述形式。
不可侵彻条件
不可侵彻性条件是最核心的物理约束，它要求两个接触物体在变形过程中不能相互穿透。在接触问题的数值模拟中，物体的控制方程与常规连续体力学方程保持一致，但需要在接触界面上额外引入动力学和运动学的约束条件。
可侵彻性条件 在多物体问题中, 物体必须满足不可侵彻性条件。一对物体的不可侵彻性条件可以表示为
在接触力学中，两个物体的交集必须是一个零测度集，这体现了不可侵彻性的基本约束条件。从运动协调性的角度来看，该条件严格禁止两个物体在空间上发生任何重叠。在处理大位移问题时，不可侵彻性条件表现出强烈的几何非线性特征，且通常无法用位移的显式代数方程或微分方程直接描述。这一数学处理上的困难主要源于：在任意给定的运动中，我们无法预先确定两个物体之间可能发生接触的准确位置。以上图情况为例，在旋转运动过程中，物体上的P点可能与物体A的Q点发生接触；而若相对运动方式改变，同一P点则可能与物体A的S点形成接触。这种接触点位置的不确定性导致我们无法建立显式的运动约束方程，而只能采用如式(3)所示的隐式不等式形式来表达P点不侵入物体A这一物理事实。
由于以位移的形式表示公式 (3) 是不可能的, 所以, 在接触过程的每一阶段中以率形式或者增量形式表示不可侵彻性方程是很方便的。不可侵彻性条件的率形式应用到物体
已经发生接触的部分,即位于接触表面 上的那些点,它可以写成:
为满足上述条件，LS-DYNA主要采用以下两种方法：
关于非线性无摩擦接触的罚方法
对于非独立形式侵彻的罚方法, 仅建立离散方程。在罚方法中,只需要速度场的近似。再者,在每个物体内部,速度场为0阶连续。在两个物体之间的连续性没有作出约定, 但是是由罚方法强制引入的。我们将建立如下形式
其中
所以,可得到
因此, 对于无约束问题, 在罚方法中方程的数目是不变的。在离散方程中, 不等式不会显式地出现,而是由阶跃函数施加接触罚力。
对于小位移弹性静力学的罚方法
对于小位移弹性静力学,如前所述,我们用位移替换速度。
将上式代入式(5),给出
或者
平衡方程可表示为：
这是一个与无接触问题具有相同次数的代数方程系统。通过罚力 施加接触约束。如在公式 (11) 中可以看出,代数方程不是线性的,因为罚力矩阵包括取决于位移间隔的Heaviside 阶跃函数。
结论
接触-碰撞问题因其高度非线性特征而被视为计算力学中最具挑战性的问题之一。该问题的复杂性主要体现在系统响应的非光滑特性上——在碰撞发生的瞬间，接触界面法向速度场会出现间断性跃变。这种运动学不连续性给数值求解带来了显著困难：一方面，离散方程的时间积分需要特殊处理以保持稳定性；另一方面，传统Newton迭代算法的收敛性会受到严重影响。因此，发展适合的数值方法和计算策略成为实现高精度模拟的关键所在。本文着重介绍了LS-DYNA中最常见的描述接触切向行为与法向行为的方法：库伦摩擦法与罚函数法。但这两种算法仍不完美需要大家在结合实际应用背景的前提下继续优化，建立新的算法体系。
