傅里叶变换及其在信号分析中的应用

一、傅里叶变换的公式

 傅里叶变换的基本公式为：    其中：

•       是信号        的傅里叶变换，
•       是角频率，
•       是虚数单位。

逆傅里叶变换的公式为：    

二、傅里叶变换的应用

       傅里叶变换在信号分析中的应用非常广泛。例如，它可以用于分析一个衰减的正弦波信号     ，其中     。

       案例描述： 假设我们有一个时域信号     ，其中     ，我们希望分析该信号在      秒内的频域特性。

       傅里叶变换计算： 由于直接计算傅里叶变换的解析解较为复杂，我们通常使用数值方法来计算。以下是一个使用Python进行数值计算的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# 定义时域信号
def f(t):
    return np.exp(-5*t) * np.sin(2*np.pi*5*t)

# 时间范围
t = np.linspace(0, 1, 1000)

# 计算时域信号
time_signal = f(t)

# 定义傅里叶变换的被积函数
def integrand(omega, t):
    return f(t) * np.exp(-1j*omega*t)

# 计算傅里叶变换
omega = np.linspace(-20, 20, 1000)  # 频率范围
F_omega = np.zeros_like(omega, dtype=complex)
for idx, w in enumerate(omega):
    integral, _ = quad(integrand, 0, np.inf, args=(w,))
    F_omega[idx] = integral

# 绘制时域信号
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, time_signal)
plt.title('Time Domain Signal')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)

# 绘制频域信号
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(omega, np.abs(F_omega))
plt.title('Magnitude of Fourier Transform')
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

       左侧子图：显示时域信号     。       右侧子图：显示频域信号的幅值     。

       转换后，我们可以看到时域信号和其对应的频域信号之间的关系。傅里叶变换将时域信号转换到频域，使我们能够分析信号的频率成分。