很多CAEer都是村里的骄傲厂里的学历天花板,别人自然对你另眼相看,还时不时有一两个好奇宝宝来问你有限元计算原理是什么,你怎么好意思说我离开学校太久忘记完了。
本文就不系统地梳理下有限元的计算原理,本文微积分和数列含量为0,小学生也能看懂。
不用看那些长篇大论的历史变迁和背景研究,其实就一句话:有限元法就是把我们要研究的结构分割为有限个单元。为什么要这样干呢,目的就是将结构的连续的无限自由度问题转化为有限自由度问题。
有限元法处理结构问题包括以下几个步骤:
1)结构离散化,即划分单元;
2)单元分析,即计算单元刚度方程;
3)整体分析,即计算结构总体平衡方程(总刚度方程);
4)引入约束条件计算位移解,即求解节点位移;
5)计算其他量,如应变、应力等。
我们给结构施加的是外部载荷,有限元方法怎么计算出位移、应力、应变等后处理结果的呢?以下公式均为简化写法,省略了微积分与矩阵展开公式,只为了说明原理。
1)网格划分后,单元之间仅仅通过节点相连,力也仅仅通过节点传达,从而将外部载荷转化为节点载荷;
2)单元分析后得到单元刚度,即节点力与节点位移之间的关系;
{}
即:节点力=【单元刚度矩阵】*节点位移
3)求得节点位移后,通过形函数插值算法,得到单元内各点的位移,此时便引入了高斯积分点的概念;
即:单元位移=【形函数矩阵】*节点位移
4)通过单元位移和单元微分算子阵,求得单元应变;通过单元应变和材料弹性矩阵,求得单元应力;
即:单元应变=【单元微分算子阵】*单元位移=【应变矩阵】*节点位移
即:单元应力=【材料弹性矩阵】*单元应变
5)通过外插(线性计算)或复 制(非线性计算)将高斯积分点的应力应变转化到单元节点上。
需要说明的是,单元位移、单元应力、单元应变均是通过高斯积分求得,为了形象地说明,前人创造性地想象出了高斯积分点的概念,用抖音的口吻述说就是:发明高斯积分点的人真是个天才。
由于应变和应力是通过在高斯积分点求得,再外推插值或复 制到节点上,那相邻两个单元就可能存在共节点处应变/应力值不同情况,ansys默认取两者的平均值。
本文加了一点自己的不正确的理解,希望读者朋友多多批评指正。
祝万事顺遂。
参考文献:尚晓江等《Ansys workbench结构分析理论详解与高级应用》