基于多面体比例边界有限元法的ABAQUS用户自定义单元

概述  形函数的构造方法不唯一，可以通过构建位移与单元坐标的关系式，然后通过求解系数来构建形函数；也可以用一种更加直观的方法构建：拉格朗日插值法。本文主要讲解如何采用拉格朗日插值法构建四边形单元的形函数。拉格朗日插值  拉格朗日插值，顾名思义，它是解决插值问题的算法。假如我们一系列离散的数据，如 1 4 2 6   我们有时候想要得到形如 这些非整数编号对应的数值，这时候就需要对数据进行插值计算。  插值算法也有很多种，这里重点介绍拉格朗日插值法，其他的插值算法可以翻阅数值分析之类的书籍，上面会有详尽的介绍。拉格朗日插值法的公式为：   其中， 表达式为   按照上面的公式可以将三个形函数求解出来，然后代入公式即可求解非整数对应的数值。  下面分别给出具体求解拉格朗日函数的过程。   因此，拉格朗日插值的表达式为   如果我们想知道 ，就需要计算，不过这个数值很简单，一眼就知道是 ，但是我们已经推导出来了上面数值对应的拉格朗日插值的公式，那就用公式计算，然后再验证结果。   计算结果是 ，符合直观感觉，两点只能确定一条直线，中间的数值一定两端点函数的平均值。构造Q4单元形函数  下面用上面介绍的拉格朗日插值法求解四边形单元的形函数。首先给出四边形单元的图示为  在有限元二维单元的节点排序中，必须按照逆时针排列，这是计算的需要。  将上面的节点和对应的坐标整理成表格的形式，便于后续的插值计算。 1 -1 -1 2 1 -1 3 1 1 4 -1 1   需要特别注意的是，采用一维拉格朗日插值推导二维有限元四节点单元的时候，只需要将某个节点对应两个方向的一维形函数相乘即可，这里不对这条定理进行推导，有兴趣的读者可以参考一些数值分析的书籍。  假如我们要求解节点 对应的形函数，只需要将节点1和4、节点1和2对应的一维形函数相乘即可，如下图。  首先将节点1与4对应的数值从上面的表格中提取出来 1 -1 -1 2 -1 1   对于节点1，需要求解节点1与4的竖直向拉格朗日函数，即h坐标的拉格朗日函数为   然后将节点1与2对应的数值从上面的表格中提取出来 1 -1 -1 2 1 -1   对于节点1，需要求解节点1与2的水平向拉格朗日函数，即g坐标的拉格朗日函数为   将这两个方向的拉格朗日函数相乘，即   即  采用同样的方法可以计算剩余三个节点的形函数，则四个节点的形函数分别为   下面验证求解是否正确，我们知道形函数需要满足两个条件所有形函数的和为1每个形函数在自己对应的节点取值为1，其余取值为零  第一个条件将四个形函数求和即可，这里不再赘述。下面验证形形函数 是否满足第二个条件，这里将节点4的坐标 代入到这个形函数     说明是满足的，形函数 的取值示意图为  经验证，其余的三个形函数也是满足的，说明采用拉格朗日插值法构造的四节点单元形函数是正确的。   来源：有限元先生