POF：锥-杆组合体入水后空泡脉动的水动力特性

4天前浏览46

摘要

本研究探讨了圆锥以恒定速度入水后，其后方产生的空泡脉动现象。当前模拟结果表明，在深度缩颈（deep pinch - off）之后会出现空泡脉动，这导致水和空气区域均产生明显的压力振荡。同时，沿着空泡表面会形成从头部延伸至尾部的波纹，从而产生波浪状的圆柱状空泡。值得注意的是，当入水弗劳德数低于10时，圆锥所受载荷主要源于空泡脉动引起的压力振荡，其超过了初始入水冲击时所承受的砰击载荷。该研究还发现连接的杆对空泡演化有显著影响。具体而言，空泡波纹频率随杆半径的增大而增加；然而，当杆与圆锥半径之比小于20%时，杆对空泡动力学的影响可忽略不计。本研究通过将空泡建模为空心圆柱结构进行理论分析，以阐明波纹频率与杆尺寸之间的关系。研究结果表明，空泡脉动频率与圆锥和杆半径平方之差成反比。此外，当缩颈时刻空泡的特征长度超过Lp/Rc > 6的比例时，入水空泡可精确建模为长圆柱状空泡。数值结果证实，所提出的理论模型能够可靠地预测实心杆对空泡脉动特性的影响。

一、引言

物体入水后其后方空泡的演变涉及多相流体动力学和气泡声学，长期以来一直是人们关注的课题。相关研究最早可追溯到1883年。空泡形状的演变直接影响入水航行器的运动。空泡的形成、生长和溃灭与航行器的航行性能密切相关。空泡产生的噪声在水下对抗中至关重要，因为它传递了水中入水物体的识别信息。空泡演变背后的物理机制引起了船舶工程师和物理学家的兴趣。

在空泡形成阶段，当物体最初撞击水面时，空气会被带入水中。物体下落速度和形状是影响空泡后续演变的关键因素。此外，入水物体的润湿性对飞溅和空泡的形成有显著影响。实际上，物体浸入水中时，并不一定能形成空泡。空泡的形成受撞击速度和物体表面特性的影响。对于亲水性物体，只有当其速度超过临界阈值时才能观察到空泡。一旦空泡形成，由于静水压力，它会被水封闭。斯皮尔斯（Speirs）等人通过改变接触角，研究了四种不同类型空泡封闭方式下空泡的演变，并建立了封闭类型与接触角之间的相关性。在低弗劳德数下形成的空泡，深度缩颈深度大约位于空泡长度的一半处。洛泽（Lohse）等人引入了一种流体动力学方法来描述实心球体与软沙相互作用形成的空泡。他们提出空泡深度与球体半径的关系与弗劳德数的1/3次方成正比。迪克洛（Duclaux）等人通过提出，对于在高邦德数和低弗劳德数条件下物体入水后形成的空泡，一种理论模型（即从Rayleigh–Besant问题的扩展应用推导而来）可以准确预测空泡从形成到溃灭的时间演变，从而加深了对空泡动力学的理解。他们推导出了一个解析表达式来描述空泡的缩颈行为，并通过实验观测严格验证了他们的理论预测。他们的研究结果表明，在低下落速度下，空泡的深度缩颈主要受重力影响。然而，随着撞击速度的增加，空泡颈缩前飞溅封闭的形成会引发压力突然下降，从而改变深度缩颈的深度。在高速入水过程中也能观察到深度缩颈现象。在这种情况下，环境压力与空泡内压力之间的巨大差异降低了静水压力对空泡封闭的影响。数值模拟和实验研究均表明，高速射弹入水后空泡深度缩颈的深度由射弹的加速度决定。射弹的几何形状和质量是影响空泡演变的重要因素。

水中空泡的脉动是海洋工程领域普遍关注的课题，涵盖了诸如水翼和螺旋桨上的空化、水下爆炸以及入水空泡溃灭等现象。空泡的体积脉动会在水中产生各种辐射噪声，并对结构施加显著的脉动载荷。空泡声共振特性可用于操控水下声场。对于入水空泡而言，深度缩颈事件会在空泡内部引发压力扰动。随后，可在空泡表面观察到声波纹。阿贝尔森（Abelson）使用压力传感器测量了空泡内的压力梯度，证明深度缩颈事件会导致入水空泡内压力突然升高。格鲁姆斯楚普（Grumstrup）等人观察到空泡表面的起伏会导致多次缩颈事件，并发现水中的声频与球体下落速度和空泡波纹波数的乘积成正比。他们将入水空泡概念化为圆柱结构，并首次证明这些波纹是由声压产生的。博迪利（Bodily）等人在细长轴对称物体内部放置加速度计，以研究空泡脉动对物体的影响。他们发现，在空泡缩颈后，物体的加速度呈现周期性振荡，且形成的波纹频率与格鲁姆斯楚普等人所确定的频率相同。卢夫（Louf）等人对圆锥入水时附着的空气空泡的长期行为进行了实验研究。该研究特别考察了空泡脱离后波纹的形成以及与这些波纹相关的力。通过采用势流方法，他们建立了一个声学模型来预测波纹的波长，并将其与在空气空泡中实际观察到的波长进行了比较。他们的研究结果表明，估算作用在圆锥上的力与测量到的力之间存在很强的同相关系。此外，该研究还涉及圆锥入水及标度律分析。以往的实验和理论研究主要集中在裸入水物体所形成空泡的演化特征上。对于轴对称物体，包裹在空泡内的后体对空泡演化的影响尚不清楚。对于包含固体物体的长圆柱状空泡，其脉动机制也不明确。

本研究探讨了锥-杆组合体入水后其后方形成的空泡脉动状态。通过运用数值方法，对空泡的演变及其体积脉动进行分析。模拟结果揭示了典型的界面波纹现象，并获取了空泡体积振荡的共振频率。此外，本研究还提出一种理论方法，以考量空泡内实心杆对其演变的影响。理论分析将揭示轴对称物体入水形成的空心圆柱状空泡的脉动机制。本文后续章节结构如下：第二节介绍数值方法；第三节通过与卢格尼（Lugni）等人的实验数据对比，对数值过程进行验证；第四节深入探究深度缩颈后空泡脉动现象的一般特征，讨论空泡形成波纹时的流场细节以及连接在圆锥上的杆的影响；第五节进行理论分析，以解释空泡波纹和共振现象，建立空泡脉动与连接在圆锥上的杆之间的关系，并阐述入水空泡内杆在决定空泡共振频率方面的作用；最后，第六节总结研究结论。

二、数值方法

控制流体流动的纳维 - 斯托克斯方程采用有限体积法进行离散。为改善数值耗散和收敛性，对流项采用MUSCL三阶迎风格式与中心差分重构格式之间的三阶混合格式。利用雷诺平均纳维 - 斯托克斯（RANS）方程结合剪切应力输运（SST）湍流模型来分析入水过程中出现的湍流现象。为提高模拟的数值稳定性，采用压力 - 速度耦合的压力隐式分裂算子（SIMPLEC）算法。施内尔 - 绍尔（Schnerr - Sauer）空化模型源自简化的瑞利-普莱斯（Rayleigh - Plesset）空化模型，用于模拟入水过程中汽相和水相之间的质量传递。在当前模拟中，假定水的密度恒定。空气和蒸汽被视为可压缩气体，并建模为理想气体。分析中采用基于时间平均的连续性方程和动量守恒方程：

其中i=1，2，3；是剪切应变张量；ρm是多相流体的密度和ρα分别是相的体积分数和密度）；μ是混合粘度；u是速度；p是压力；是雷诺应力张量。基于布辛涅斯克（Boussinesq）近似，雷诺应力可表示如下：

其中

是湍动能。采用SST湍流模型对RANS方程进行封闭。控制k和演变ω的输运方程可推导如下：

其中和是常数。能量方程如下：

其中E是质量平均变量，可定义如下：

其中Ei是各相的比热，Sh是空化产生的源项，可确定如下：

三、数值方法的验证

A. 计算域与网格策略

计算域和边界条件如图1所示。水箱尺寸决定了壁面效应对空泡演变的影响，进而影响空泡缩颈深度、缩颈时间以及空泡界面脉动。曼苏尔（Mansoor）等人对疏水球体撞击水面产生的空泡形成进行了实验研究。他们的实验表明，当入水物体直径D与水箱直径D_tank之比大于0.075时，壁面约束变得重要。在当前模拟中，我们将数值水箱尺寸扩大到D/D_tank=1/30，以排除壁面效应。计算域为一个尺寸为30D×30D×50D的大型立方流体水箱，设定水深为40D。水箱的侧面和底部边界设为壁面条件，而水箱顶部指定为压力出口边界，初始绝对压力为1个标准大气压。

图 1. 入水模拟的计算域与边界条件定义示意图

图2所示的计算网格在本研究中采用了重叠网格技术来模拟圆锥的下落过程。计算域分为两个部分：重叠区域和背景区域。在重叠区域内，网格尺寸从圆锥壁面向边界逐渐增大，并且采用结构化网格[图2(a)]，以增强流体流动的对称性。在背景区域，对z方向的网格尺寸进行细化，以便准确捕捉水面。对重叠边界采用自适应网格，以降低计算成本。最初，沿圆锥下落路径的网格被细化，以与重叠区域的边界网格相匹配[图2(b)]。

图2. 计算网格配置：(a) 重叠区域；(b) 背景区域。

B. 现有数值方法的验证

在当前模拟中，使用商业计算流体动力学（CFD）求解器STAR - CCM + 来求解控制方程。基于卢格尼（Lugni）等人开展的实验，对所提出的数值模型和网格收敛性进行验证。入水物体由圆锥和圆柱体组成，与实验设置一致。圆锥半径Rc=0.125米，锥角45°，圆柱体半径与之相同，高度为0.065米 [图2(a)]。所有参数均与卢格尼等的实验中所规定的参数一致。圆锥被视为质量为9.84千克的均质物体。在重叠区域，采用三种不同的网格密度来验证网格收敛性。

在重叠区域，重叠边界上的网格尺寸分别为0.5毫米、1.0毫米和2.0毫米。圆锥表面的最小网格尺寸约为0.3毫米、0.7毫米和1.8毫米。在背景区域，对入水轨迹采用三种不同的网格尺寸（2毫米、4毫米和8毫米）。为提高计算效率，背景区域采用自适应网格方法，以与重叠区域的边界网格相匹配。背景区域中最大的网格位于水箱边界，尺寸恒定为128毫米。在本研究中，收敛标准定义如下：残差降至10^(-4)数量级；同时，内部迭代终止时，残差至少降低三个数量级。表一详细列出了每种网格设置下的网格收敛验证及误差情况。图3展示了圆锥速度的计算结果与实验数据的对比。网格1和网格2的数值结果与实验结果高度一致。对于网格2设置，圆锥速度的最大瞬时误差约为5.6%，其速度与实验结果紧密相符。随后，选择网格2用于后续模拟。图4（a）和图4（b）分别展示了实验和当前模拟中的空泡轮廓演变。数值计算与实验快照吻合良好，表明圆锥入水时形成了空气空泡，随后出现深度缩颈。深度缩颈的深度约为圆锥入水深度的一半，这与迪克洛等人的理论分析一致。

表一. 网格收敛性分析与误差评估

图3. 速度随时间变化的实验数据与数值模拟结果对比

图4. （a）数值模拟结果与（b）卢格尼等人（2021年）提供的实验快照中入水后空泡形状的对比。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

当入水空泡溃缩时，其径向尺寸减小，并被圆锥分为两部分[图5（a）]。缩颈之后，从图3和图5中可以明显看到空泡上部出现显著的压力振荡和界面波纹。随后，出现一对水射流（图5）。向下的水射流迅速穿过空泡，冲击圆锥后方的表面。同时，另一股被称为“沃辛顿射流”的射流向上喷出相当的高度。随着圆锥下沉，新的空泡波纹在空泡头部附近不断形成[图5（c）]，沿着空泡界面向上发展，然后随着向下的射流向内传播[图5（d）]。值得注意的是，射流上不会出现界面波纹。空泡波纹的产生源于声学因素，由空泡缩颈时的声学扰动引发。波纹的频率可以通过应用多方定律确定圆柱状空气空泡的振荡模式来近似估算。本研究对数值结果与理论方法进行了对比，结果见表二。分析表明，模拟结果与卢格尼等人的实验数据高度吻合，误差幅度为6.4%。相比之下，卢夫等人提出的理论方法误差率显著较高，达到64.6%。卢夫等人提出的方法与实验数据之间的差异十分明显。

图 5：入水圆锥后方的空泡演变和界面波纹。（注：空泡表面是空气体积分数为 0.5 的等值面。）

表二：通过三种方法确定的空泡振荡频率。

四、空泡振荡现象的观察

尽管Louf等提出的理论模型存在较大误差，但该模型在其他实验场景中展现出了准确的预测能力。为解释这一差异，本节采用上述数值方法进行了一系列模拟。实验结果表明，空泡缩颈所需时间与物体尺寸的平方根成正比，这意味着随着入水物体尺寸增大，计算时间会大幅增加。为提高计算效率，后续模拟减小了圆锥尺寸。此外，模拟未考虑圆锥的惯性效应，且下落速度保持恒定。本节所采用的网格划分策略和数值方法与第三节所述一致。

A. 连接不同杆的圆锥后方的空泡脉动

图6展示了圆锥以恒定下降速度入水时，其后方形成的空泡波纹。圆锥连接着一根圆柱形杆，杆的半径范围为0至0.02米。在图6（a）中，由于没有杆对水射流产生影响，向下的水射流从缩颈位置出现后，将穿透整个空泡。相反，在图6（b） - 6（e）中，圆柱形杆的存在使得深度缩颈后向下的水射流沿着杆流动。值得注意的是，在所有情况下，空泡表面都能观察到波纹，杆的尺寸对这些波纹的形成有显著影响。观察发现，图6（a）中的波纹数量少于2个，而在图6（e）中，这一数量增加到4个以上。此外，从图6（a）到图6（e），这些波纹的波长减小，这表明随着杆半径的增加，波纹频率明显上升。

图6. 撞击水面0.115秒后，连接不同圆柱形杆的圆锥后方的空泡波纹：圆锥半径0.02米，顶角67.5°，下落速度2.426m/s，杆长0.12米，杆半径不同。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

在当前的模拟中，设置了一系列监测点来测量空泡内的压力（图8）。随后在图7中展示了压力振荡频率。在相关实验中，杆半径为3毫米，杆半径与圆锥半径之比)r0/Rc=0.15（图7中用红星突出显示）。模拟得出的频率为103赫兹，这与实验结果高度吻合，表明了数值结果的可靠性。振荡频率随着比值的增加而显著提高。当)r0/Rc>0.5时，当)r0/Rc=1时，频率迅速上升至超过210赫兹。相反，当r0 /Rc<0.5时，频率从103赫兹略微增加到115赫兹。如果)r0/Rc小于0.2，则可以忽略杆尺寸对振荡频率的影响。研究表明，当)r0/Rc<0.2时，理论模型与结果有很好的一致性，误差幅度约为10%。然而，在)r0/Rc较高的区域，该模型失效，当)r0/Rc=1时，最大误差达到56% 。观察结果表明，连接到圆锥的圆柱杆在空泡的演变中起着重要作用。

图7. 不同)r0/Rc情况下圆锥后方空泡的脉动频率。

图8对比了空泡形成阶段两个圆锥后方的空泡轮廓。由于下落速度恒定，两个空泡长度相同。通过提取界面位置，图8（c）描绘出空泡轮廓。无杆圆锥后方的空泡缩颈速度略快。通过检查40至80毫米深度之间的径向尺寸，这一观察结果得到了进一步证实。两种情况下的空泡轮廓几乎相同，这表明在形成阶段，杆对空泡形状的演变影响极小。

图8. （a）无杆圆锥和（b）连接r_0 = 15毫米杆的圆锥产生的空泡形状。（c）本模拟得到的空泡轮廓。（注：从圆锥顶面到监测点1的距离为10毫米。空泡表面是空气体积分数为0.5的等值面。）

图9展示了在0.1米的恒定水深下，空泡半径随时间的变化情况。初始时间标记为圆锥顶面到达该深度的时刻。在5毫秒之前，两种情况下的空泡大小相同。随后，连接杆的圆锥后方的空泡半径略大于无杆圆锥后方的空泡半径。到35毫秒时，空泡表面与杆的侧面接触，使得空泡半径稳定在15毫米。相比之下，无杆圆锥对应的空泡经历了更长的发展阶段，并在44毫秒时溃缩。残留空气的存在阻碍空泡回到中心位置，从而形成了空泡尾流，如图9的插图所示。虽然杆会影响空泡缩颈，但其对空泡半径的影响并不显著。根据上述分析，我们得出结论：连接的杆的影响主要体现在空泡脉动阶段。

图9. 水深恒定为0.1米时圆锥后方空泡半径的演变。（注：红色圆圈表示连接半径r0=15毫米杆的圆锥所产生的空泡半径，绿色方块代表无杆圆锥后方的空泡半径。插图展示了缩颈后在0.1米深度处圆锥-空泡的轮廓及界面位置。）

为研究杆对空泡波纹形成的影响，本研究对比了波纹形成阶段的空泡半径（图10）。数据采集于一个移动坐标系内的特定平面，该平面靠近圆锥顶面并与圆锥同步移动。结果表明，由于杆对空泡缩颈的影响，与无杆圆锥相比，连接杆的圆锥后方空泡波纹出现得更早。空泡深度缩颈产生的初始界面波峰半径始终最大。此外，在波纹形成阶段，杆对空泡径向尺寸的额外影响极小。空泡的体积波动将能量辐射到水中。流体粘性和能量耗散消耗了空泡的总能量，从而形成一个阻尼振荡系统。因此，在图10中，由于阻尼作用，两种情况下波纹的振幅都逐渐减小。

图10. 与圆锥顶面相邻的共动平面内空泡界面的径向位置

B. 空泡起纹过程中流场的波动

空泡压力的振荡致使流体区域出现周期性特征，且界面上产生空泡波纹。为探究圆锥后方实心杆的影响，需提取空泡起纹时入水水流场的详细信息。图11展示了圆锥表面的压力分布，大约在0.955秒时，空泡向杆溃缩，导致杆侧壁形成高压区域。该高压区域沿着空泡表面与杆侧壁的连接线向下移动。0.097秒时首次波峰出现（图10），这与空泡压力的显著上升相对应。通过监测0.0955秒至0.097秒杆侧壁的压力变化，可证实这一现象。随后，在0.097秒至0.1秒期间，杆上压力下降，表明在此区间出现了首次波谷（图10）。值得注意的是，在0.103秒和0.1105秒时压力呈现不同程度的上升，这表明压力波动场存在阻尼效应。此外，圆锥头部的压力分布呈现出一致的周期性。图10和图11表明，杆和圆锥头部的压力振荡与波纹的形成是同步的。空泡内的压力振荡同时对杆和圆锥头部表面产生周期性的压力作用。0.103秒后，杆后方形成一个小空泡，该空泡大约在0.1045秒时溃缩，导致第二次空泡缩颈。随后，杆后方出现小波纹和向下的射流。同样，杆后方小空泡的演变也遵循类似的过程。

图11. 半径r0=15毫米的杆连接的入水圆锥在下落速度为2.426m/s时的压力分布。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

图12对比了带杆和不带杆圆锥在流体区域引发的压力分布。两种情况下，高压区域均出现在空泡尾部。当空泡波峰出现时[图12（a）中在0.1065秒和0.1165秒；图12（b）中在0.096秒和0.104秒]，可观察到圆锥和空泡周围压力突然升高。同样，当空泡波纹波谷出现时[图12（a）中在0.1105秒和0.1185秒；图12（b）中在0.1秒和0.106秒]，压力总会下降。

图12. 流体区域的压力分布：(a) 无杆，(b) 连接半径r0=15毫米的杆，下落速度为2.426m/s。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

在两种情况下，空泡起纹过程中压力场都呈现出明显的周期性振荡。与图12（a）相比，图12（b）中带杆圆锥的压力脉动周期更短。两种情况下压力场的频率与图10中的数据一致。压力场和起纹的空泡具有相似的周期性特征。在图12（a）中，仅发生一次空泡缩颈，空泡溃缩后出现较长的空泡尾流。在图12（a）中0.1185秒时，尾流周围也观察到压力脉动。相反，图12（b）中未观察到尾流，其中明显出现两次深度缩颈。如图12（b）中0.096秒和0.106秒所示，第二次缩颈在水中引起的压力上升比第一次弱。

图13和图14对比了空泡起纹时圆锥周围的速度场。在图13中，0.1085秒前，缩颈位置附近的空泡半径迅速减小。图14中，0.0965秒首次出现明显缩颈时，也有类似现象。速度等值线分析表明，水域中有四个高速区域：缩颈前缩颈深度附近区域、上下水射流根部以及水射流区域。速度场呈现出以空泡起纹为主导的周期性特征。当波峰出现时（图13），在0.1085秒和0.1165秒，可明显观察到圆锥头部周围流体粒子加速。图13和图14两种情况下，速度场都出现周期性脉动，其周期与图10记录的结果相同。分析表明，空泡体积振荡引发空泡界面起纹，导致入水水流场中的压力和速度产生周期性振荡。因此，在振荡流场中，预计会有周期性力作用于入水物体。

图13. 无杆圆锥入水产生空泡起纹过程中的速度场。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

图14. 连接半径毫米杆的圆锥入水产生空泡起纹过程中的速度场。（注：空泡表面为空气体积分数为0.5的等值面。）

对空泡内部压力进行了监测，结果如图15所示。压力数据由图8中所示的监测点采集。由于不同探头记录的压力信号呈现出显著的同相关系且幅值一致，因此我们仅绘制了监测点2的数据。在两种情况下都观察到，缩颈后压力出现振荡，且振幅随时间呈下降趋势。此外，缩颈后平均压力值随时间增加，这表明了水的重力作用。无杆圆锥后方的压力振幅明显更高。杆对空泡内部的压力波动有抑制作用，从而改变了作用于入水物体的力。图16（a）和图16（b）分别展示了作用在圆锥顶部和底部的力。两种情况下，缩颈后都明显出现周期性力。缩颈后，空泡内部压力迅速增加，导致圆锥顶表面受到向下的力。随着空泡波动强度减弱，图16（a）中的力呈现下降趋势。无杆圆锥顶表面受到的向下力的振幅明显高于连接半径r0=15毫米杆的圆锥，差值超过三倍。杆减小了顶表面的面积，导致作用在其上的力变小。图16（b）描绘了圆锥底部受到的力，显示在20毫秒前，圆锥底部受到的砰击力迅速增加。随后，从20毫秒到90毫秒，力呈线性增加。缩颈后，两种情况下的力都呈现出与图15中类似的周期性模式，振荡力的振幅随时间减小。由于杆对压力波动的抑制作用（图15），圆锥底部受到的力的振幅减小。在这两种情况下，第一个周期内底部受到的最大力分别为4.8N和5.5N，力的振幅分别达到3.8N和4.5N。相比之下，初始撞击时的力约为1.5N。空泡波动产生的力明显高于圆锥底部受到的砰击力。需要注意的是，有时，作用于入水物体的主导力可能由波动的入水空泡产生。

图15. 不同入水圆锥产生的空泡内部压力随时间的变化。压力由监测点2采集。

图16. 作用在圆锥（a）顶部和（b）底部表面的力，正值表示向上的方向。

图17对比了无杆圆锥在初始起纹阶段所受的力，以及圆锥完全浸入水中时所受的砰击力。由于缩颈深度取决于弗劳德数（Froude number），且随下落速度增加而增大，在高速情况(U0>3.0m/s）下，我们将杆的长度增加到0.2米，以获得理想的空心圆柱状空泡。在缩颈阶段之后，压力突然升高，导致圆锥顶部的最大力Ft和底部的最大力Fb方向反转。砰击力Fi随下降速度增加而增大，不过仍低于初始空泡振荡产生的力。Fi随下降速度先上升后下降，在U0≈3.5m/s 时达到峰值。当U0<3.5m/s时，Fi随下降速度迅速增大；当U0>3.5m/s时，Fi的增长速率显著降低。在图18中，随着下降速度增加，砰击力系数趋向于一个常数值。相反，Fw* 和Fb* 都随弗劳德数的平方Fr^2减小。随着Fr^2增加，Ft* 和Fb* 之间的差异减小，表明空泡振荡的影响在减小。在圆锥的基本情况下，当Fr^2>100时，空泡振荡引起的载荷小于砰击力。相反，当Fr^2<100时，空泡溃缩和振荡的影响明显大于圆锥入水时的砰击载荷。基于上述分析，在低弗劳德数的入水过程中，空泡振荡引起的载荷成为主导因素。

图17. 圆锥表面所受力的大小随下落速度的变化关系。（注：红色矩形和蓝色圆形分别表示首次起纹时作用在圆锥顶部和底部表面的最大力。灰色三角形表示入水时作用在圆锥底部的初始冲击力。）

图18. 圆锥表面的力系数与弗劳德数的平方的关系。（其中为水的密度，为初始速度，为圆锥半径，为重力加速度）

五、空泡振荡频率分析

在图6和图7中，与入水圆锥相连的杆对空泡起纹特性有显著影响。在本节中，将给出一种理论方法，该方法考虑了杆的影响，能够可靠地估算起纹频率。

含有长实心杆的入水空泡可看作是一个空心圆柱状空泡，如图19所示。因此，其波动行为可被视为空心圆柱状空泡的体积振荡。研究人员观察到，波长λ与频率f的乘积近似等于物体的下降速度U0，这表明波纹仅从圆锥处向外传播。在圆锥顶点似乎存在一个振荡源，对局部流体产生影响。本研究考察了附着在圆锥上的一层空心圆柱状空泡，其中空泡的初始体积和瞬时体积分别用V0和V(t)表示。由空泡波动引起的体积变化定义为

。

图19. 入水圆锥后方空心圆柱状空泡的坐标系定义和示意图。（注：Rc和R0分别表示圆锥后方表面的半径和平衡状态下的空泡半径。l表示靠近圆锥顶部的振荡空泡层的高度。）

在本研究中，流体的黏性被忽略，通过应用拉格朗日方程，用广义坐标建立了空泡系统的运动方程。在流体中不存在耗散力或外部压力的情况下，拉格朗日方程是与拉格朗日函数L相关联的，表示系统的动能与势能之差，即：

其中v ̇是v(t)对时间的导数。

空泡系统的势能可以通过假设空泡内空气处于绝热条件，并应用多方气体定律来计算空泡内的空气压力，具体如下：

其中k是空气的绝热指数。空气空泡中的瞬时压力P(t)和压力波动δP(t)的计算如下：

其中是参考压力。因此，振荡空泡的势能可以表示为：

由于空泡体积呈周期性振荡，它会引起周围水的振动。当空泡恢复到其平衡体积V0时，水的动能达到峰值。假设空泡外的流动是无旋的，且水粒子的径向速度可以表示为R ̇=v/(2πRl)，则振荡空泡层附近水的动能可以表示为：

其中ρw是水的密度。通过将波动体积v作为广义坐标，并将系统的势能和动能代入拉格朗日方程，得到以下结果：

平衡体积由

确定，然后方程（14）可转换为：

因此，我们得到空心圆柱状空泡系统的共振频率如下：

值得注意的是，对于球形空泡，v表示为

，空泡的动能为

。因此，球形空泡的共振频率为

，这与Minnaert的表达式一致。

对于球体入水形成的空泡，平衡半径通常定义为球体的最大半径。如果R0=Rc且杆的尺寸接近圆锥半径Rc，共振频率将变为无穷大。在图6和图7中，当R0=Rc时，空泡表现出最高的振荡频率，且平衡半径明显大于圆锥半径。此外，由于流体静压力的影响，波纹的平均半径会随时间减小并偏离平衡半径。在本研究中，使用了前两个波纹的平均半径R0。图20展示了不同下落速度下波纹的归一化波长λ=U0/R0。分析表明，杆对起纹频率有显著影响，而对空泡的影响则微乎其微。因此，无杆圆锥的归一化波长与连接杆的圆锥的归一化波长不同。随着r0/Rc的比值增加，波长随下落速度呈线性增长，这与文献中的研究结果一致。与实验结果相比，当前的模拟表明r0/Rc=0时的参数值更高，这意味着恒定下落速度的假设对空泡的演化有影响。实验表明，波纹沿着空气空泡形成，在实验室坐标系中保持固定。因此，波速近似等于圆锥的瞬态速度。忽略减速会导致波速更大，波纹的波长更长。在图20中，可以看出随下落速度呈线性增加。需要注意的是，恒定速度假设会导致更大的瞬态速度，使

增加，但不会改变

与U0之间的线性关系。在公式（16）中，参数

是由水的动能积分推导而来，代表了径向流动引起的无限惯性。然而，如果空泡发生波动，水对空泡的惯性效应必须是有限的。因此，动能的惯性需要被限制在一定程度内。为了确定参数

的合理值，研究人员使用参数

的不同取值计算了空泡溃灭时间，并观察到当参数

被使用时，他们的理论模型能够为空泡溃灭周期提供准确的预测。因此，对于可压缩液体，得出参数

的合适值，这与文献中报道的值一致。值得注意的是，如果满足

和r0/Rc=0的条件，公式（16）与提出的空泡起纹频率相似。为了进行对比，本研究采用参数

。在图21中，将理论预测与当前针对不同r0/Rc比值、各种下落速度的模拟结果进行了比较。结果表明，所提出的模型能够为空泡起纹频率提供合理的估计。需要强调的是，对于给定的下落速度，尽管空泡的形状和大小相似，但空泡中杆的存在使其变成空心圆柱形状，从而减少了空泡内空气的体积。这些因素可能是观察到的波动频率变化的原因。

图20. 前两个波纹的波长与空泡平均半径之比随圆锥下落速度的变化关系。（注：蓝色和黄色虚线分别表示不同r0/Rc比值下的线性拟合曲线。）

图21使用前两个波纹的空泡平均半径

，对模拟得到的空泡起纹频率与理论预测值进行对比。（注：圆锥在入水速度U0=2.426m/s相同时连接不同的杆。）

图22展示了不同下落速度下的各种理论预测结果。所提出的模型在初始下落速度增加时能做出准确的预测；然而，在1.5m/s和2.0m/s的较低速度下，该模型存在显著偏差。在图4和图5中，入水弗劳德数太小，不足以使足够的空气形成长圆柱状空泡。此外，由于深度缩颈引发的向下水射流，空泡表面看起来更像一个圆环面，而非圆柱面。如图22的插图所示，在1.5m/s的速度下也有类似现象，这使得在这些条件下圆柱状空泡的假设不成立。空气量的减少和空泡形状的变化是导致频率波动的主要因素。随着空泡长度的增加，所提出的模型适用性更强。在图23中，采用缩颈时刻的空泡长度Lp来评估当前预测中空泡长度的影响。图23（a）中的虚线表明Lp与弗劳德数相关，表达式为