资深光学工程师带你读懂ZYGO干涉仪面形数据——从PV到Zernike的全面解析

来自于扩展物体的光可以看作是无数点光源的集 合。每一个点源向所有方向发射光线,如图1所示。在几何光学中,来自给定物点的光线通过理想成像系统中的所有路径,将聚焦到另一个点。物体的每一点发射（或反射）一个光场,该光场在成像系统的入瞳变成发散球面波。为了将这一光场聚焦到像平面上的某点,成像系统必须施加球面相位延迟,将发散球面波前转换为一个会聚球面波前。像差是相对于球面相位延迟的偏差,使得来自于给定物点的光线离焦并形成一个有限尺寸的光斑。当像被看作一个整体,像差使其变得模糊。来自不同物点的光根据到光轴的距离,可能在像平面经历不同的像差。 图1 成像系统简化模型 根据对成像系统的详细描述，光线追迹可以用于确定给定物点的波前像差。一些光学设计软件如CODE V、OSLO和ZEMAX等非常容易给出像差。假设已经得到像差情况下。像差可以表示成以波为单位的波前 ，或者以弧度为单位的光相位 。然后，可通过将切趾和像差的作用合并成一个复杂函数来写作一般性的光瞳函数 ： 赛德尔像差 通常可以根据如下公式将任意波前像差写成多项式展开式: 式中：r为归一化的光瞳极坐标。归一化的坐标为物理径向坐标除以光瞳半径，这样在孔径的边缘r=1.这些展开项的分类如表1所列。表1 常见的赛德尔像差项及其名称 泽尔尼克圆多项式 由于塞德尔像差形式简单,之前多项式展开是十分方便的,并且是利用光线追迹直接得到的。然而其缺乏数学属性，当像差变的复杂时，最好使用完备和正交的表征，所以这里描述一个满足完备和正交的表征。大多数情况下都处理圆形孔径以上的多项式展开对圆形孔径不是正交的。然而，泽尔尼克圆多项式对圆形孔径是完备和正交的。需要注意的是,泽尔尼克环多项式对于环形孔径是正交的，泽尔尼克-高斯圆多项式对高斯孔径是正交的,泽尔尼克-高斯环多项式对高斯环形孔径是正交的。存在对称泽尔尼克矢量多项式,其点乘对圆形孔径也是正交的。这些表征都是非常有趣和有用的,但是本文只讨论泽尔尼克圆多项式多项式。由于存在多种用于定义泽尔尼克圆多项式的约定和排序方案。本书使用诺尔约定,多项式定义为 式中：m为泽尔尼克多项式径向数，满足非负整数；n为泽尔尼克多项式角向数，为非负整数；且同时满足 ， 为偶数。然而,只用一个索引就可以方便地写出 径向和方位角因数 和 由下式给出： 的映射是复杂的，给出n和m可能对应着一个或两个i，但是却唯一对应一组 。现给出泽尔尼克圆多项式序号排列规则：➀ 由公式 可先确定Zernike多项式的径向数n。对于任意给定的径向数n，其所对应的定Zernike多项式个数为n+1，则所有径向数不大于n-1的定Zernike多项式的总数为n(n+1)/2，故径向数为n的所有Zernike多项式的序号范围应是n(n+1)/2+1~n/(n+1)/2+n+1.首先，将序号范围内的数字从小至大排列，定义其为R序列（序号为r）；然后，将其重新排列，即先将其中的奇数从大至小排列；最后，将偶数从小至大排列，并且将其置于奇数序列之后，定义该序列为I序列（序号为i）。R序列与I序列的个数相同，只是排列顺序不同，可以通过已知的i得到其在R序列的相应位置r。➁定义变量k,使其r及n的关系满足k=r-n/(n+1)/2-1 。➂角向数m可通过关系式确定m=|n-2k|。 表2 36阶Zernike多项式极坐标及笛卡尔坐标形式至此Zernike多项式理论部分已经完备，使用MATLAB或Python等科学计算语言可以计算仿真出各像图。图2所示为编程实现的前36阶像差图，其正交性图如图3所示，不同Zernike满足正交性。 图2 Zernike多项式前36阶像差图 图3 Zernike多项式前36正交性参考文献[1] NIU K,TIAN C. Zernike polynomials and their applications[J/OL]. Journal of Optics,2022, 24(12): 123001. https://doi.org/10.1088/2040-8986/ac9e08. [2]JASON D.SCHMIDT. Numerical Simulation of Optical Wave Propagation with Examples inMATLAB: 卷 PM199[M].SPIE, 2010. 来源：旋算仿真工作室