有限元基础知识：线搜索

大家经常会有一些困惑就是我按着教科书写出来的单元算法实现，为啥没有商软算的好，之前已经介绍了多种方法：单元计算基础知识：缩减积分有限元基础知识：假设应变（ANS）今天在基于这些讲一讲关联插值(Linkedinterpolation)，对于膜来说呢，就是很多人熟知的Allman膜实现，这里Allman是个人名没有特殊含义。这种单元实现可以很好的解决膜单元的平面内自锁问题。我们在之前说过：我所常用的单元：薄膜单元我所常用的单元：壳单元大家可以把膜单元还有壳单元中的平面内部分，理解为空间中的一个“平面应力”单元，当其在该平面内受弯的时候，我们往往需要很多单元才能比较准确的得到计算结果。那么Allman这个人就想了，我是否可以通过引入中间节点的方式，将1阶单元变类似于2阶单元的精度呢?所以他就做了这样的操作，比如下边这个四边形的膜单元，我们先来到他的单元坐标系上，我们将4节点的单元，转化为8节点的单元，进行以下步骤：得到中心节点的位移，但如果仅仅是这样，那么中心节点就是完全由边节点插值而来的，跟直接用四节点的一阶单元没有任何区别引入另一个自由度，绕z轴的旋转，很多地方也叫drillingdof，,来给中心节点处的位移加一加火候，我们就有了这里我们通过引入一个新的自由度，对原有中间插值进行了一些补充，使其更“柔”了一些，其中为单元边的长度，而为这条边与局部坐标下轴的夹角。那么对于1个四节点的单元，在单元局部坐标系下，现在我们就每个节点有3个自由度,,，对于四节点单元共有12个自由度，对于3节点三角形单元共有9个自由度。接下来我们展开进一步的单元计算，我们假设我们有如右图所示的8节点单元，我们直接采用8节点的等参单元的方式计算其刚度矩阵，得到其中为位移-应变矩阵，D为材料属性矩阵，那么对于一个单元坐标系下的标准8节点平面应力单元，我们得到为()的刚度矩阵，因为每个节点有个自由度，即,，而接下来的步骤就好办了，由于我们之前已经建立好了一个中心节点与边界点位移及的关系，我们可以通过上述等式，得到其关系，类似于约束关系，我们得到如下的公式：其中T为一个()的转换矩阵，用来将4节点单元的12个自由度与8节点单元的16个自由度建立联系，其基本形式为：其中就是一些与节点局部坐标有关的数，大家可以回想上边的那个跟边长相关的公式然后我们将上述的矩阵通过局部到全局坐标系的变化再组装到全局矩阵就好了，整体流程还是比较清晰的。整体上来看由于引入了我们一定程度上增加了平面内单元的灵活度，使其更柔了，有效的解决了低阶膜单元、壳单元平面内的自锁问题，而对于平面外的弯曲，剪切，其实还需要别的办法，这些我们且听下回分解。总体上来说Allman这套技术在线性分析上，表现比较好，而在非线性中由于材料的不确定，及大变形效应，上述约束方程未必成立，所以需要另寻办法，也且听下回分解。来源：大狗子说数值模拟