通过1+1介绍显式与隐式计算差异

计算    的结果，对的就是计算1+1。

看了很多介绍显式，隐式的文章，感觉不够简单明了，现在来换个简单的案例解释下。

一、显式方法（Explicit Method）

定义：显式方法是一种直接利用已知信息逐步逼近结果的方法。每一步的计算基于前一步的结果，不需要求解方程，而是通过一个明确的更新公式逐步逼近最终结果。

计算过程：假设我们用显式方法计算1+1，但为了体现迭代过程，我们将其分解为逐步逼近的过程。

1. 初始猜测：假设初始猜测为       。

2. 更新公式：我们定义一个简单的更新公式：      这个公式的意思是：每一步，我们用当前值        加上一个修正量，修正量是目标值（2）与当前值的差的一半。

3. 迭代计算：

• 第一次迭代：      当前值为1.5，接近但尚未达到目标值2。
• 第二次迭代：      当前值为1.75，更接近目标值2。
• 第三次迭代：      当前值为1.875，继续逼近目标值2。
• 第四次迭代：      当前值为1.9375，进一步逼近目标值2。

4. 检查收敛：假设我们设定的收敛标准为       （即相邻两次迭代的差小于0.01）。

   可以看到，随着迭代次数增加，相邻两次迭代的差逐渐减小，最终会收敛到目标值2。

• 第一次迭代后：      
• 第二次迭代后：      
• 第三次迭代后：      
• 第四次迭代后：      

二、隐式方法（Implicit Method）

定义：隐式方法是一种通过求解方程来计算结果的方法。在每一步，隐式方法需要通过求解包含未知量的方程来得到下一步的结果。

计算过程：假设我们用隐式方法计算     ，但为了体现隐式方法的特点，我们将其转化为一个方程求解问题。

1. 建立方程：我们建立一个方程来表示问题：      这个方程的意思是：我们需要找到一个值       ，使得       。

2. 求解方程：通过求解方程来找到        的值：      

   在这个简单的例子中，隐式方法直接通过求解方程得到了结果       。

3. 迭代求解（复杂情况）：在更复杂的情况下，隐式方法可能需要通过迭代求解方程。例如，假设我们用牛顿法（Newton-Raphson Method）求解方程       ：

• 第一次迭代：      第一次迭代就得到了结果       。
• 初始猜测：假设初始猜测为       。
• 迭代公式：牛顿法的迭代公式为：      其中，      ，      。
• 迭代计算：

三、显式方法与隐式方法的差异

四、总结

通过这个简单的例子，我们可以清晰地看到显式方法和隐式方法的差异：

1. 显式方法：通过逐步逼近的方式逐步逼近最终结果，每一步的计算基于前一步的结果，不需要求解方程。
2. 隐式方法：通过求解方程来直接得到结果，可能需要迭代求解，但通常收敛速度更快，适合需要高稳定性的场景。