理解结构力学：几何构造分析基本原理

来源：头条号新叔的科学日常

其实，这其中就包含了结构分析原理中的一个重要概念：几何可变体系与几何不变体系。毫无疑问的是，我们不能把结构架设成几何可变体系，否则外力一旦施加上去，它就会迅速变形失去其功能，甚至瞬间倒塌，比如下面图中所展示的（虚线为变形后状态）。

那么，我们要如何将上面的结构变得“稳固”呢？三角形是我们最容易想到的方法了。

其实，结构的几何构造分析的主要目的就在于此，检查并设法保证结构的几何不变性。但是，上面的例子结构本身太过简单，并且分析方法太过于直觉化，对于更复杂，不这么直观的结构而言，比如下图这样：

这样的所谓“一眼看”的分析方法就会变得不那么严谨，于是，一个更具有一般性的分析方法就变得尤为重要。

在正式提出分析方法之前，有必要先介绍两个重要概念：一是自由度；二是约束。

学习一门新学科时，大多数人的内心都对这种新名词，新概念充满了排斥感，其实这些新的概念也只是第一次接触的时候会花些心思，等到正式运用时，只会更方便。就像你第一次接触方程时，老师给你传递一大堆概念和定义，但是现在我们只用提到方程这一概念，你就知道如何运用处理问题是一个道理。

可是我们都知道，结构并不是一个点，比如我们在上图中将点换成一个矩形，我们称这个矩形叫刚片（刚度大，不会变形的平面刚体），读者并不需要对矩形这个描述过于留下刻板印象，因为刚片是一个统称，有的时候一条轴线也可以被称为刚片，一个刚架也可以被称为刚片，读者只用留下刚片是具有体积、不会变形这一特征的印象即可。

那么，刚片在平面内具有几个自由度呢？如果你的回答是2的话，恭喜你回答对一半了，因为刚片在平面内也具有自由点的性质，可以在平面内自由移动。不过刚片不止是一个点，是具有空间形状的，那么相对于点而言就多了一个运动状态——转动（比如时钟里时针、分针绕中点旋转），所以对平面中的刚片进行空间描述就需要用到三个度量值，它的自由度是3。

一般来说，一个体系如果有n 个独立的运动方式，那么这个体系就有n 个自由度。比如，一般在工厂里的一些机械设施，我们是希望它们能“动”的，但是又希望它们只按照某一规定好的形式运动（比如说传送带），那么这种机构就有一个自由度。

而对于结构而言，我们是不能允许结构发生运动的，所以几乎所有结构的自由度都为0，如果一个结构的自由度大于0了，那这个体系就是几何可变体系。

由图可知，此时AB杆的运动方式只有两种了：一是整个杆通过A点绕C点转动，二是整个杆件绕A点转动。因此，此时AB杆的自由度为2，在此就可以得到一个结论：一个支杆（上图中的AC部分），相当于一个约束，可以减少一个自由度（对于上面的原因了解即可，更重要的是这个结论）。

对于这个“双节棍”，它并不是说不能移动了，它依然可以移动，不过是两个在一起整体移动，所以对于整个体系而言可以看作是：包含了AB作为刚片的三个自由度加上BC只能绕B旋转的一个自由度（因为BC移动部分的自由度可以用AB的移动进行描述），共4个自由度。

其实并不难理解，你可以这样类比，公交车在地面上有三个自由度（可移动，可转弯），你也有三个自由度（可移动，原地转圈），可是你上了公交车后，你的空间移动的量值其实就是公交车的移动了。

同样可以得到一个结论：一个铰相当于两个约束，可以减少两个自由度。

很容易，新的体系其实可以看成是一个更大的刚片，只有三个自由度。

同样可以得到一个结论：一个刚结点相当于三个约束，可以减少三个自由度。

我们汇总一下上面提到的三个结论：

• 一个支杆相当于一个约束，可以减少一个自由度；

  
  

• 一个铰相当于两个约束，可以减少两个自由度；

  
  

• 一个刚结点相当于三个约束，可以减少三个自由度。

有了自由度和约束的概念，我们就可以站在更科学的角度看待几何可变以及几何不变体系，对于更复杂的结构也有了更方便的工具可以运用了。

任何科学上的雏形，都有它双重的形象：胚胎时的丑恶，萌芽时的美丽。

——雨果