有限元基础知识：牛顿法与修正牛顿法

继前文 有限元基础知识：线性化

说过Newton-Raphson迭代的基本流程，当时我们介绍的也叫完全牛顿法 (Full Newton) 我们通过不断的迭代使得

即内外力平衡，其中外力是有所施加的载荷决定的，而内力则是由系统的应力与当前构型决定的。那么为了完成这个过程，我们就需要进行如下的计算，即在每一个迭代步都计算切线刚度矩阵，

即根据第     个迭代步的构型、应力应变状态计算当前的切线刚度矩阵。

这个过程就好比精确制导，在每一个迭代之后，我们都准确的知道下一个迭代的方向，但是代价就是在每一个迭代后，我们都需要重新的计算刚度矩阵，并重新进行矩阵求解，而众所周知这个过程开销是比较大的。

举个例子，在我们做非线性仿真分析的时候，经常需要将每一步切的比较小，那么可能一个非线性仿真就有几十个上百个增量步，而每个增量步内又有4-5个迭代步，那么可能会使得求解刚度矩阵的次数轻松的超过上百次，非常的费时（这也是非线性分析比线性分析花费时间长的多的主要原因之一）。

另外有个问题就是因为每一步都需要计算切线刚度矩阵，当系统接近极值点的时候，就容易切线矩阵奇异，造成数值振动或者不收敛。

所以我们就可以做多种方法，来改变一下最原始的牛顿法，今天先说一种：修正牛顿法 （Modified Newton)

其实改进牛顿法也比较容易理解，其核心无非就是，原本的牛顿法是每个迭代步都计算一次切线刚度矩阵，而改进牛顿法采用一种比较懒的策略，那就是我每隔几步算一次刚度矩阵，这样呢，就可以算完刚度矩阵后将分解后的矩阵存下来，大幅度提升效率。然而其实天下也没有免费的午餐，既然现在不再精确制导，而是开始大力出奇迹，我们理所当然的可以认为，现在的迭代路径并没有完全牛顿法那么精确，为了实现同样的收敛，我们往往需要迭代更多次。

如下图所示的结构，在考虑几何非线性的情况下，我们可以看到，完全牛顿法收敛步数远小于修正牛顿法，大概是修正牛顿法的    , 然而因为其每一迭代步求解非常快，总体消耗的时间却可能更少。

一般商业软件中对于修正牛顿法有几种方式：

1. 在每个增量步开始的时候计算切线刚度矩阵，迭代步不重新计算
2. 每隔n个迭代步计算切线刚度矩阵
3. 一步中迭代超过预设的最大迭代数的时候就更新切线刚度矩阵 总的来说呢，在采用了修正牛顿法后，在非线性并没有特别强烈，边界条件并没有大的突变的情况下，我们一般都是可以更快的得到收敛的结果的。