线性静力分析：手算有限元矩阵
一、线性静力平衡方程
在线性静力分析中，我们假设结构的变形与载荷成正比，且结构在小变形下工作。线性静力平衡方程是这一分析过程的核心，它描述了结构在外力作用下达到平衡状态时的力学行为。线性静力平衡方程可以表示为：
其中：
是总体刚度矩阵，它包含了结构中所有单元的刚度信息。 是位移向量，表示结构中各个自由度的位移。 是外力矢量，表示作用在结构上的外部力。
二、有限元模型的建立
有限元分析是一种数值方法，它通过将结构划分为有限数量的小单元来近似求解连续介质的力学问题。在本例中，考虑一个由两个杆件组成的简单模型，这两个杆件并排放置，一端固定，另一端受到集中力的作用。杆件具有不同的截面积和长度，分别记为 和 ，以及 和 。材料为钢，弹性模量 。
图片案例取自altair线性静力学培训资料
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三、杆件刚度矩阵的计算公式
杆件单元刚度矩阵 可以通过以下公式计算：
其中， 是材料的弹性模量， 是单元的截面积， 是单元的长度。
四、模型的具体数值计算
对于本模型中的两个杆件单元刚度矩阵分别为：
五、总体矩阵的组装
接下来，我们将所有单元的刚度矩阵组装成一个全局刚度矩阵 。以反映整个结构的刚度特性。
六、施加边界条件
在建立全局刚度矩阵后，我们需要定义结构的边界条件和外部载荷。在本例中，我们沿着-Z轴施加了一个10 kN的力。
而在另一端固定了位移，意味着该节点的位移为0。当我们对某些节点施加位移约束时，需要在其他节点上施加等效的力来保持系统的平衡，如果没有足够的约束，结构将无法达到平衡状态，导致无限大的位移，所以需要在x1上施加一个力来抵消由于x3上的-10单位力引起的位移。
七、求解全局坐标下平衡方程组
最后，我们求解线性方程组 来找到节点的位移。
解这个方程组，我们得到：
八、应变和应力的计算
应变可以通过位移和杆件长度计算得到，而应力则是应变和材料弹性模量的乘积。
应力计算如下：
九、力的计算
最后，我们可以通过应力和截面积计算出结构中各个杆件的内力。
