有限元基础知识：Voigt 记法与应力应变计算

我们之前说到了应力应变相关的知识：

有限元基础知识：客观率是什么

我们了解到应变、应力都是二阶张量，而本构矩阵为四阶张量，那么工程中怎么方便的表示这些呢？这就引出了我们今天要讲的Voigt Notation，通过其将张量与矩阵计算联系起来。

Voigt Notation的工程必要性

正常来说四阶弹性张量    在三维空间中有81个分量，即使考虑对称性（    ），独立分量仍高达21个。传统张量运算需要四重循环嵌套，计算复杂度呈指数级增长。Voigt Notation （Voigt 是个人名） 将其压缩为6×6矩阵，将四阶张量双点乘运算转化为矩阵乘法，计算量降低至原方法的1/36。

1. 索引映射规则    
   我们将3×3对称应力张量      按以下规则折叠为6×1列向量：    

如下图所示：

对于应变张量则需进行一些修正：

应变张量    的Voigt表示为：

物理根源：工程剪应变    （夹角总变化量）与张量剪应变的差异

我们可以通过能量守恒来验证这个系数2的必要性： 应变能密度    在Voigt表示下保持：

通过系数2的引入，抵消张量双点积运算中的重复计数问题

本构关系的矩阵重构

1. 四阶张量降维操作
   弹性张量      的Voigt转换流程：

• 步骤1：建立索引映射表

  张量索引对	Voigt索引
  (11)	1
  (22)	2
  (33)	3
  (23)	4
  (13)	5
  (12)	6

• 步骤2：刚度矩阵元素计算

       

     

  例如：        ，        

2. 典型材料矩阵示例
   各向同性材料的Voigt刚度矩阵：

      

      

   其中      和      为拉梅常数，      对应剪切模量

• 一阶拉梅常数      ：表征材料抵抗体积压缩的能力，与体积模量      的关系为：    
• 二阶拉梅常数      ：即剪切模量，反映材料抵抗形状变化的能力

其与杨氏模量    、泊松比    的转换关系：

有限元计算中的好处

1. 应变-位移矩阵改造
   传统3×3应变张量转换为6×1 Voigt向量后，B矩阵维度从3×3×节点数降为6×节点自由度数，计算效率提升3倍

2. 刚度矩阵积分加速
   Voigt表示下的单元刚度矩阵计算：

      

      

   矩阵乘法次数从      降为      （n为积分点数量）

通过这种结构化操作，工程师可将复杂的张量运算转化为标准矩阵运算，在保证物理意义准确性的同时实现计算效率的飞跃。