力学解析：猫的空中转体与动量矩守恒

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

从高处下落的猫总是四肢先着地的现象很早就引起注意。1894 年法国科学院的生理学家**（Marey,M.）曾用摄影技术记录了猫的下落过程，发现猫能在1/8秒的短暂时间内从四足朝天姿势自动翻转过来[1]。这一现象给物理学家们出了个大难题。

图1 猫的空中转体（图片来源：引自新浪网）

在《抖空竹与欧拉方程》一文里曾解释过，由于重力对物体质心的力矩为零。腾空物体的动量矩L 必守恒不变。猫在下落前处于静止状态，动量矩为零。腾空后的猫处于无力矩的自由状态，在下落过程中应维持初始状态的零动量矩不变。180°翻转所需要的动量矩增量从何而来？

1894年，另一位法国人古尤 (Guyou,M.) 对此提出一种解释。他认为猫的转体可能分前后半身两阶段实现。

• 第一阶段，前半身转体时，前腿向头部靠拢以减小转动惯量。为保持零动量矩，后半身必同时朝相反方向转动，由于转动惯量的差异，后半身转过的角度必小于前半身。

• 第二阶段，后半身转体时，后腿向尾部贴近，使前半身逆转的角度小于后半身。

这种解释虽不违背动量矩守恒但过于勉强，且缺少摄影记录的证实。

前苏联的洛强斯基 (Loytsiansky,L.G.) 编著的理论力学教科书中，对猫转体问题有一个著名的解释：“只要急速转动尾巴，猫就能使身体朝相反方向翻转，而动量矩仍保持为零”。这本书的中译本曾是上世纪50年代国内的权威教材。受其影响，“猫靠尾巴转体” 理论很长时期内曾是理论力学课堂上讲述动量矩守恒原理的有趣例证，但稍作分析就能察觉其中的谬误。细长的猫尾与躯体的转动惯量相差如此之悬殊，要求猫尾在1/8秒内急速旋转几十圈以实现躯体的翻转，显然是不可能的事。笔者于1987年曾有机会与莫斯科动力学院的理论力学老师们座谈，惊奇地发现，他们对“转尾理论”仍深信不疑。1960年，英国生理学家麦克唐纳 (McDonald,D.A.) 曾将猫的尾巴截去，用实验证明无尾猫同样也能完成空中转体，从根本上否定了“转尾理论”。

1935年两位医生拉德麦克 (Rademaker,G.G.J) 和特布拉克 (Ter Braak,J.W.G.) 提出了比较合理的解释。他们认为，猫在下落过程中依靠脊柱的弯曲使前半身相对后半身作圆锥运动，则整个身体必朝相反方向旋转以维持零动量矩。1969年，斯坦福大学的力学教授凯恩 (Kane,T.R.) 将此解释更具体化。他用两个圆柱形刚体代表猫的前后半身，在腰部用球铰连接作为猫的力学模型，建立了无力矩状态下的动力学方程（图2）^[2]。利用数值积分的计算结果表明，当刚体之间作相对圆锥运动时，整体会产生180°的翻转，此过程与实验纪录基本吻合。于是，猫空中转体的物理难题才有了合理的解答。笔者曾对他的数学模型导出解析表达式，以表达同样的运动过程。

图2 猫空中转体的力学模型（引自文献^[2]）

关于上述猫的前后半身之间的圆锥运动，还需做些补充说明。在《抽陀螺与刚体的规则进动》一文里，曾对刚体的规则进动有确切的定义。猫的前半身所做的运动也是章动角θ 不变，对称轴沿圆锥面进动，与陀螺的规则进动相似，但不完全相同。如果是与陀螺的规则进动相同，转动一圈下来，猫的前后半身就像麻花似地扭了 360°，这显然与实际情况不符。猫的这种运动可视为一种特殊的规则进动，即在章动角θ 不变，对称轴沿圆锥面进动的同时，躯体绕对称轴朝相反方向转过同样角度，使猫始终面向前方。因此，必须附加一个约束条件，φ=-ψ，即自旋角φ 等于进动角ψ 的负值，以避免躯体的扭转（图3）。这种无扭转的特殊规则进动在体育锻炼的扭腰动作中十分常见，体操运动中的鞍马全旋动作也是这种特殊规则进动。

图3 无扭转的特殊规则进动

猫的空中转体现象表明，包括人体在内的任何腾空生物体借助肢体的相对运动都会影响整个身躯的转动。在体育运动中，腾空状态的体操运动员和跳水运动员能利用肢体的动作完成复杂的转体翻身运动。在航天技术中，失重状态下的宇航员能借助肢体的动作完成空中行走任务。所有这些运动无不遵循动量矩守恒原理。

参考文献：

[1]  Marey,M. Des mouvements que certains animaux exécutant pour retomber sur leurs pieds. Lorsqu’ils sont précipités d’un lieu élevé . Comp .Rend. Acad. Aci. Paris, 1894, (119) : 714-717

[2]  Kane,T.R., Sher,M.P.. A dynamical explanation of the falling cat phenomenon. Int. Solids Structures, 1969, 5(7) : 663-670

（原文注：改写自 刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版），高等教育出版社，2018：3.1节）