有限元基础知识：关联插值与 Allman膜实现

大家经常会有一些困惑就是我按着教科书写出来的单元算法实现，为啥没有商软算的好，之前已经介绍了多种方法：

单元计算基础知识：缩减积分

有限元基础知识： 假设应变（ANS）

今天在基于这些讲一讲关联插值 (Linked interpolation)，对于膜来说呢，就是很多人熟知的Allman 膜实现，这里Allman是个人名没有特殊含义。这种单元实现可以很好的解决膜单元的平面内自锁问题。

我们在之前说过： 

我所常用的单元：薄膜单元

我所常用的单元：壳单元

大家可以把膜单元还有壳单元中的平面内部分，理解为空间中的一个“平面应力”单元，当其在该平面内受弯的时候，我们往往需要很多单元才能比较准确的得到计算结果。 

那么Allman这个人就想了，我是否可以通过引入中间节点 的方式，将1阶单元变类似于2阶单元的精度呢? 所以他就做了这样的操作，比如下边这个四边形的膜单元，我们先来到他的单元坐标系上，我们将4节点的单元，转化为8节点的单元，进行以下步骤：

1.       得到中心节点的位移，但如果仅仅是这样，那么中心节点就是完全由边节点插值而来的，跟直接用四节点的一阶单元没有任何区别
2. 引入另一个自由度，绕z轴的旋转，很多地方也叫drilling dof，      , 来给中心节点处的位移加一加火候，我们就有了     

   这里我们通过引入一个新的自由度       ，对原有中间插值进行了一些补充，使其更“柔”了一些，其中       为      单元边的长度，而       为这条边与局部坐标下      轴的夹角。那么对于1个四节点的单元，在单元局部坐标系下，现在我们就每个节点有3个自由度      ,        ,      ， 对于四节点单元共有12个自由度，对于3节点三角形单元共有9个自由度。 

接下来我们展开进一步的单元计算，我们假设我们有如右图所示的8节点单元，我们直接采用8节点的等参单元的方式计算其刚度矩阵，得到

其中     为位移-应变矩阵，D为材料属性矩阵，那么对于一个单元坐标系下的标准8节点平面应力单元，我们得到     为(    )的刚度矩阵，因为每个节点有    个自由度，即     ,     ，而接下来的步骤就好办了，由于我们之前已经建立好了一个中心节点与边界点位移及    的关系，我们可以通过上述等式，得到其关系，类似于约束关系，我们得到如下的公式：

其中T为一个(    )的转换矩阵，用来将4节点单元的12个自由度与8节点单元的16个自由度建立联系，其基本形式为：

其中    就是一些与节点局部坐标有关的数，大家可以回想上边的那个跟边长相关的公式

然后我们将上述    的矩阵通过局部到全局坐标系的变化再组装到全局矩阵就好了，整体流程还是比较清晰的。整体上来看由于引入了     我们一定程度上增加了平面内单元的灵活度，使其更柔了，有效的解决了低阶膜单元、壳单元平面内的自锁问题，而对于平面外的弯曲，剪切，其实还需要别的办法，这些我们且听下回分解。

总体上来说Allman这套技术在线性分析上，表现比较好，而在非线性中由于材料的不确定，及大变形效应，上述约束方程未必成立，所以需要另寻办法，也且听下回分解。