四面体网格混合阶矢量有限元实现
简述
对于电场矢量波动方程的数值模拟，矢量有限元是求解电场分布规律的常见数值方法。在之前的实践过程中发现，二阶的计算精度虽然有效的高于一阶，但是未知数也是成倍的增加，在实际工程中无论是效率和精度都不是最优的选择，对此，混合阶矢量有限元可能是更好的选择，既能保证感兴趣的位置精度，同时降低不必要区域的阶数。
这篇文章抛砖引玉，探讨实现基于一阶、二阶下混合阶的矢量有限元。
其中基于矢量有限元的整个实现流程可以参考以下文章，这里不再介绍。重点介绍混合阶矢量有限元的一些关键技术点与测试结果。
1.矢量基函数表达式
本次混合阶是基于一阶、二阶的，因此这里给出一阶二阶的基函数表达式
一阶基函数：
二阶基函数：
再次提及，二阶基函数中包含了一阶基函数，这是混合阶有限元能实现的基本要求。高阶基函数可以理解为基函数的本身的高阶项，因此在四面体单元不存在具体的某个点与之对应，这是区别于插值基函数而言。
确定基函数后，可以发现一阶基函数会形成6*6的单元系数矩阵，而二阶基函数会形成20*20阶的单元系数矩阵。
2.四面体网格的自由度计算与拓扑关系
由于整个网格中，不再是统一的一阶或者二阶，因此首先必须确定每个四面体网格的阶数，例如测试模型10*10*10的模型，规定x<5区域部分为二阶基函数，其余为一阶基函数，得到的阶数分布规律如下：
可见混合阶网格的自由度不再很容易获得，不同阶数单元的自由度不同，一阶为6个自由度，二阶为20个自由度，分别用棱边、面表示。因此需要计算整个模型中实际的未知数个数。对于上述示意图而言，需要计算得到红色 区域的棱边数量与面的数量，并且对它们进行编号，如此可以得到：
获得这些信息后，然后再根据总未知数的关系，得到单元与每个未知数上的映射关系，以便于后续的系数矩阵组装。
此外，还需知道一阶和二阶四面体单元所在分界面的面、棱边的编号信息关系，因为在高阶向低阶基函数的过渡区域，我们需要统一阶数，即将四面体相连的高阶棱边、面处理成低阶的状态。
3.系数矩阵组装与边界条件
在获取的必须的网格拓扑关系、自由度关系与一阶、二阶基函数后，组装矩阵则是按照正常的有限元系数矩阵组装即可，一阶的四面体累加上6*6单元系数矩阵，二阶的四面体累加上20*20单元系数矩阵。
边界条件依然是使用第一类边界条件，对于基函数阶数分界面而言，需要统一阶数，将高阶部分基函数处理成低阶状态。
组装好矩阵后，正常求解即可。在后处理插值中，同样高阶部分使用高阶插值，低阶部分使用低阶插值，避免精度浪费。
4.结果测试
为了与之前文章对比，采用相同的模型10*10*10的网格，首先取x<5的区域为二阶基函数，其他区域为一阶基函数，得到的阶数分布如上图。具体的电场衰减结果与理论解进行对比：
分别对比一阶、二阶与文章二阶矢量有限元实现-四面体网格的结果精度进行对比结果如下：
整体上看，混合阶的精度在一阶、二阶之间，这也符合预期。再看看其三维可视化结果，更容易观察出混合阶的优势：
由于x<5的区域是二阶，可以明显看出x<5的区域，插值的电场结果更加的光滑，而相反x>5区域依旧呈现一阶的锯齿状结果。
在实际结果中，我们可能只对x=0位置或者附近的电场感兴趣，如此通过混合阶有限元，就能避免其他区域不必要的高阶有限元阶数。
再测试y<5的区域采用二阶网格，其他区域采用一阶网格的三维可视化结果，如下图：
依然可以明显看出，二阶部分的插值结果明显要比一阶部分的插值结果光滑很多。由此基本上可以确定对于一阶、二阶的混合阶矢量有限元的求解是正确的。
结束语
1.本文章实现了简单的一阶、二阶的混合阶有限元，并讨论了混合阶有限元的关键技术点。
2.本文章仅仅是对混合阶有限元的简单实现操作，在具体工程案例中，还需要考虑具体 位置的阶数分布，这需要具体的仿真经验与对模型电场分布规律的了解等，最佳的有自适应技术，通过电场、模型分布规律自动实现阶数分布的确定，这其中涉及到网格剖分、阶数分布特征、自适应技术、专业知识背景等等。
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