显式分析为什么需要控制单元的最小尺寸

显式分析常用于求解动力学问题，其核心是基于牛顿第二定律   ，在有限元分析中通常采用显式时间积分算法来求解结构的动力学响应，下面以中心差分法为例介绍显式分析的基础公式。

2、运动方程

在有限元中，离散化后的结构运动方程可以表示为：  其中：结构动力学的基本方程

•     是质量矩阵，描述结构的惯性特性。
•     是阻尼矩阵，考虑结构的能量耗散。
•     是刚度矩阵，反映结构的弹性特性。
•    、     和      分别是结构在时间      时的位移、速度和加速度向量。
•     是时间      时作用在结构上的外力向量。

3、中心差分法时间积分

中心差分法是显式分析中常用的时间积分方法，其基本思想是通过离散时间步长    来逐步求解运动方程。

• 加速度求解：在时间      时，加速度      可以通过当前时刻的外力、阻尼力和弹性力来计算，由运动方程可得：    由于显式方法中质量矩阵      通常是对角矩阵，其求逆计算较为简单。
• 速度和位移更新： 速度      和位移      可以通过以下公式更新：        

4、公式说明最小单元

从中心差分法的稳定性条件（CFL条件）来看，时间步长    必须满足：  其中    是临界时间步长，它与单元的最小尺寸    和材料中的波速    有关，可表示为：  材料中的波速   （对于一维弹性波，   是弹性模量，   是材料密度）。

如果单元最小尺寸    过小，临界时间步长    会变得非常小。在显式分析中，时间步长    必须小于等于    才能保证计算的稳定性。过小的时间步长会导致计算步数大幅增加，计算效率显著降低。同时，由于计算机的数值精度限制，过小的时间步长还可能引发数值不稳定问题。

5、显式动力学的质量增加

在显式动力学分析中，有时会采用质量增加的方法来提高计算效率。从公式角度来看，质量矩阵    在运动方程中起到重要作用。

增加质量相当于增大了    的元素值。根据临界时间步长公式   ，而波速   ，质量增加会导致等效密度    增大，从而使波速    减小。波速减小后，临界时间步长    会增大，这样就可以采用更大的时间步长进行计算，减少计算步数，提高计算效率。

但质量增加也会带来一些负面影响，如改变结构的动力学特性，导致计算结果与实际情况存在偏差。因此，在使用质量增加方法时需要谨慎，通常只在对计算精度要求不是非常高的情况下使用，并且要对增加质量的幅度进行合理控制，各个企业的质量增加需求略有差异。

6、最小步长

最小步长即临界时间步长   ，它是保证显式分析计算稳定性的关键参数。如前面所述，其计算公式为   。

在实际计算中，为了确保计算的稳定性，通常会取一个小于临界时间步长的值作为实际使用的时间步长   ，例如   ，其中    是一个小于 1 的安全系数，一般取值在 0.6 - 0.9 之间。

同时，单元的最小尺寸    对最小步长有直接影响。不同材料由于波速    不同，在相同的单元最小尺寸下，临界时间步长也会不同。例如，钢铁材料的弹性模量    较大、密度    较高，波速    相对较快，在相同的    下，其临界时间步长会比塑料等材料小。因此，在显式分析中，需要根据材料特性和单元尺寸合理确定最小步长，以保证计算的稳定性和效率。

7、从材料波速与时间步长来看不同材料网格划分的尺寸大小

• 钢铁材料：钢铁的弹性模量高、密度较大，这使得应力波在钢铁中传播速度很快。根据显式分析里临界时间步长公式    （    为单元最小尺寸，    为材料波速），若单元尺寸    较大，会导致临界时间步长    相对较大，但这可能无法准确捕捉应力波在钢铁内部快速传播和变化的过程。为了更精确地模拟应力波的传播、反射以及由此产生的应力集中等现象，就需要减小单元尺寸     ，从而减小临界时间步长，以便在更精细的时间尺度上追踪应力波的动态行为。
• 塑料材料：塑料的弹性模量低、密度小，应力波在其中传播速度慢。这意味着即使采用相对大一些的单元尺寸，临界时间步长也不会变得过大，仍然能够在一个合理的时间步长内对塑料内部的力学响应进行模拟。从时间步长与计算效率的关系来看，塑料材料在较大单元尺寸下，既可以保证一定的计算精度，又能避免因过小单元尺寸带来的大量计算步骤，提高计算效率。
  下面是两个计算案例