《Mechanics of Solid Polymers》5.2.1各向同性线弹性

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5.2 线性弹性

线性弹性是描述固体聚合物小应变时力学行为的最直接方法。线性弹性理论在众多入门教材中都有涉及[4-6]，而在高级教材中也进行了详细讨论[7-12]。高级弹性理论非常优雅，但需要比本入门教材中所涵盖的更复杂的数学工具。为了本书的目的，考虑简单的各向同性和各向异性弹性形式就足够了，这将在接下来的两个部分中讨论。

5.2.1 各向同性弹性

弹性理论的最基本形式是各向同性弹性。在这一理论中，应力与施加的应变成正比，并且与材料的方向无关。弹性材料的本构方程通常被称为胡克定律，可以用不同的等效形式表示。以下是一组常见的方程，用于确定给定应力状态下的应变：

在这些方程中，是杨氏模量（也称为弹性模量）μ 是剪切模量，ν 是泊松比。这组方程也可以更简洁地写成如下形式：

其中指标 i 和 j 取值为 1、2 和 3，δ_ij是克罗内克δ函数，定义为：

另一种常见且实用的写法是将胡克定律改为以施加的应变为基础来求解应力：

其中是剪切模量，是拉梅常数。

线性弹性的本构理论需要指定两个材料参数，这些参数需通过实验数据确定。可以选择不同的有效材料参数对。最常用的材料参数及不同参数之间的转换公式在表 5.1 中进行了汇总。该表显示，如果我们知道其中两个材料常数，则可以计算出其他常数。例如，如果我们知道剪切模量和体积模量，则可以计算泊松比：

表5.1 线弹性材料常数的转换

校准线性弹性模型的典型方法涉及单轴拉伸实验，在该实验中，应力-应变响应用于确定杨氏模量，而泊松比则通过拉伸实验中的横向应变获得。在确定了这两个材料参数后，经过校准的线性弹性模型可以用于预测材料在任何变形状态下的行为，适用于有限元（FE）分析（只要材料行为是线性弹性的）。

使用线性弹性模型预测聚合物材料的力学行为的主要限制在于，聚合物仅在非常小的应变范围内和有限的应变速率及温度范围内表现为线性弹性。在进行有限元模拟时，有时可以通过指定弹性常数的温度依赖性来捕捉不同温度下的响应。

一个说明线性弹性使用局限性的示例见图 5.1。该图比较了超高分子量聚乙烯（UHMWPE）在三种不同应变速率和两种温度下的实验数据与线性弹性理论的预测。显然，线性弹性模型的预测仅在一个温度和应变小于1%的条件下是准确的。图中还显示，响应中的线性弹性应变范围随着温度的升高而减小。

图 5.1 超高分子量聚乙烯（UHMWPE）实验数据与线性弹性预测的比较。(a) 从压缩后跟随的卸载循环的应力-应变响应。(b) 小应变响应。

线性弹性模型主要用于预测热塑性材料在玻璃转变温度以下的小应变行为，对于热固性材料也是如此。对于类似橡胶的材料，建议使用超弹性模型或后续章节中讨论的更先进的模型。

来源：ABAQUS仿真世界

《Mechanics of Solid Polymers》5 弹性/超弹性

以下是第五章内容大纲：5弹性/超弹性5.1引言2105.2线性弹性2115.2.1各向同性弹性2115.2.2各向异性弹性2155.2.3正交各向异性弹性2165.2.4横向各向同性弹性2175.3各向同性超弹性2185.3.1连续介质力学基础2195.3.2单轴压缩与双轴拉伸的类似性225与双轴拉伸5.3.3纯剪切与平面张力的类似性2265.3.4储存能量对I1和I2的依赖性2295.3.5自由连接链模型2325.3.6新胡克模型2365.3.7Mooney-Rivlin模型2435.3.8Yeoh模型2505.3.9I1和I2模型的多项式2545.3.10八链模型2595.3.11Ogden模型2615.3.12Gent模型2635.3.13Hogan与Saccomandi模型2685.3.14Knowles模型2745.3.15响应函数超弹性2775.3.16扩展管模型2815.3.17BAM模型2755.4各向同性超弹性模型的预测能力总结2775.5各向异性超弹性2815.5.1广义Fung模型2825.5.2基于不变量的各向异性2825.5.3Bischoff各向异性八链模型2835.5.4Bergstrom各向异性八链模型2855.5.5Holzapfel-Gasser-Ogden模型2875.6超弹性泡沫模型2895.6.1Blatz-Ko泡沫模型2895.6.2超泡沫模型2925.7Mullins效应模型2925.7.1Ogden-RoxburghMullins效应模型2925.7.2Qi-BoyceMullins效应模型2965.8在聚合物建模中使用超弹性2965.8.1实验测试2985.8.2Drucker稳定性2995.8.3材料参数的确定3005.8.4超弹性的局限性2985.9超弹性代码示例2975.10练习304参考文献3045.1引言线性弹性和超弹性是两种易于使用且计算高效的本构模型。在这里，如果一个本构模型易于校准并且能够对与校准条件不同的其他加载条件提供稳健的预测，则被认为是可用的。这两类模型都能有效预测不同聚合物的力学行为。接下来的章节将讨论这两类模型背后的理论，以及它们如何应用于聚合物力学问题。需要注意的是，尽管本章讨论的超弹性模型对橡胶材料最为有效，但它们也是线性和非线性粘弹性以及粘塑性模型的重要组成部分或基础。因此，超弹性理论具有重要意义，并将在本章中详细讨论。本章的最后几部分介绍了传统超弹性模型的扩展，这些扩展能够预测各向异性非线性超弹性行为，以及对Mullins效应的预测，该效应通常在弹性体、热塑性弹性体（TPE）及其他类似弹性材料中观察到。来源：ABAQUS仿真世界