纳维点亮N-S方程之光，照亮CFD前行之路
一、纳维就像被黏性困住的普罗米修斯
图4 法国埃菲尔铁塔上镌刻有纳维的名字
图5 纳维肖像
二、我所理解的CFD的基本求解思想
如今，纳维成为了科学史上的一座丰碑，激励着无数科研人员和工程师。在现代工程领域，从航空航天到汽车制造，从船舶设计到建筑施工，N - S 方程无处不在，它就像一把万能 钥 匙，为工程师们打开了理解流体世界的大门。在航空发动机的设计中，工程师们运用 N - S 方程精确计算气流在发动机内部的流动，从而优化发动机的性能，提高燃油效率，降低污染物排放。在汽车风洞试验中，借助 N - S 方程模拟汽车周围的气流，减少风阻，提升汽车的稳定性和速度。而这些成就的背后，都离不开纳维当初的坚持与探索。
提到对流体世界的探索，就不得不说到 CFD（计算流体动力学）。CFD 的基本求解思想，是将描述流体运动的 N - S 方程进行离散化处理，转化为计算机能够处理的代数方程组。通过数值计算的方法，求解这些方程组，从而得到流场中各个物理量的分布，如速度、压力、温度等。那为什么我们称N-S方程为非线性偏微分方程？
首先说明什么是线性系统。比如两个同学称体重，两个人的总重量是他们各自体重之和，他们的体重不会相互影响，即整体等于部分之和，这是线性系统的第一个关键特性；线性系统的第二个特性是，原因与结果成正比，想象一下你用脚踢球的情形，我们忽略空气阻力，如果你用F的力来踢球，球运动的直线距离是x，如果你用2F的力来踢球，球运动的直线距离应该是2x。即原因和结果成正比。满足这两个特性（整体等于部分之和，原因和结果成正比）的系统就是线性系统。
然而自然界的很多事情都比踢球复杂得多。当系统的各个部分相互干扰、合作或竞争时，就会发生非线性的相互作用[11]。大部分日常活动都是非线性的，比如你同时听两首最喜欢的歌，你不会得到双倍的快乐。你左眼看英语，右眼看高数，你也不会得到双倍的知识。
非线性让世界变得丰富多彩、美妙而复杂，还常常不可预测，而CFD恰恰是研究非线性。
2、什么是（非）线性微分方程呢？
简单得说，线性微分方程是指未知函数及其各阶导数都是一次幂，且未知函数及其各阶导数互不掺混的微分方程，否则称其为非线性微分方程。线性微分方程需要满足以下性质：
（1） 只能出现自变量、函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
（2）函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何其他运算（比如乘除、平方、开根号等）；
（3）函数本身跟函数本身，各阶导数本身跟各阶导数本身，都不可以有加减之外的运算；
（4）不允许对函数本身、各阶导数做任何形式的复合运算，例如siny、cosy、tany、lny、y^2、y^3、y^x、exp^y。
若一个微分方程不满足上述要求，则是非线性微分方程。
我们举例说明，例如
因为方程中 y、y、y"、y"的最高次幂都是 1，且没有出现y、y、y'、y"(未知函数及其各阶导数)之间的相互掺混。虽然函数y和导数y、y"前面出现了 x、sin(x)、In(x)等自变量的初等函数，但都是允许的，所以以上方程都是线性微分方程。
反之：
因为方程中
的最高次幂要么不全是 1，要么出现了
(未知函数y及其各阶导数)的相互掺混，所以以上方程都是非线性微分方程。
我们经常说N-S方程是非线性偏微分方程，学完上面的知识，我们自己来判定一下。
N-S方程
方程中出现了自变量x、y、z、t，自变量的个数有4个，所以是偏微分方程。同时方程中出现了函数u与其对应导数
的乘积，比如函数u和其一阶导数
乘在了一起，所以是非线性。综合起来，就叫作非线性偏微分方程。
三、我的2025新年愿望
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田东Joshua_Fluent_流体基础_暖通_仿真优质内容创作者-仿真秀
2025 年，期望能与仿真秀共同打造更多高质量的学术与教学成果。我还计划将 CFD 理论方面的知识整理出版成书，并将其录制成配套课程，发布在仿真秀官网和APP，以便更广泛地传播专业知识，帮助更多学习者深入理解 CFD 理论。其次，我打算深入学习模型预测控制，不断提升自己在该领域的专业能力，为后续的科研与教学工作注入新的活力。
