有限元基础知识：显式动力学与中心差分
之前有说过隐式动力学分析 有限元基础知识：动力学分析
经常有工程师在日常的工作中，是有这样一种模式，那就是“隐式不收敛了换显式吧，时间步长弄小点”，的却显式动力学作为瞬态动力学分析的另一种核心方法，专攻短时程、强非线性、高应变率的工程问题。我愿意称其方法的核心思想为“力大飞砖”，啥非线性问题都能算，然后通过大量计算资源将分析步切的非常小以保证精度与稳定性。
显式算法原理
显式动力学与隐式动力学一样都基于以下运动方程：
而区别则在于，显式动力学采用中心差分法进行时间离散，其核心思想是通过当前时刻的运动状态直接外推下一时刻的位移，避免求解耦合方程组。设当前时刻为(t_n)，中心差分法的关键操作如下：
速度定义：
速度近似为相邻时刻位移的均值差分加速度定义：
加速度通过中心二阶差分获得
将速度与加速度表达式代入运动方程，得到显式递推关系：
加速度计算：
由当前时刻的力平衡直接求解位移更新：
通过泰勒展开保留二阶精度项速度更新：
采用半步长速度迭代
这样我们就通过中心差分的方式进行了显式动力学方程的求解与加速度、速度、位移的更新。那么观察上述公式与隐式动力学相比我们可以发现如下几个重要的特点：
无需刚度矩阵求逆：加速度直接由当前时刻力平衡计算 其中 为第n步对应的内力矢量，由单元应力场积分获得， 为外力 条件稳定性：时间步长受Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件限制，确保应力波在一个时间步内不跨越单个单元
为最小单元特征长度， 为材料 dilatational 波速。 这里Dilatational波速（纵波速/压缩波速）是材料中体积应变波的传播速度，反映材料抵抗压缩变形的能力。其本构表达式为：
：Lamé常数
：弹性模量
：泊松比
：材料密度
整体上我们可以看到如果在显式分析中随便进行网格细化，那么单元特征长度L会减小，导致最小稳定时间步相应的减小，导致计算效率会受到单元数量增多+最小稳定时间步减小的双重作用，非常的被动，这也是为啥一般软件在显式分析中对于网格的要求会高于隐式分析。
最后总结一下显式分析与隐式分析的区别：
Newmark法（隐式）
需联立求解非线性方程组 无条件稳定（当(\beta \geq 0.25)时） 中心差分法（显式）
完全显式推进，无迭代过程 最大稳定步长受材料波速限制 特别适合波传播问题（如冲击波模拟）
显式分析中有很多重要的细节，比如质量缩放、缩减积分单元的沙漏控制、接触刚度控制等以及由于其本身不需要求解刚度矩阵的分解，非常适合做并行化，这些内容我们后续慢慢进行分享。
插一些题外小故事，很多做显式分析的同志们都熟悉一款软件LS-Dyna，这个软件就是做冲击、碰撞、爆炸起家的，LS的全称是（Lawrence Livermore software），而Lawrence-Livermore是一个美国国家实验室，主要工作是做核武器性能评估，所以大家就理解为啥这地方会诞生这种软件了，而Lawrence其实是个人名，我不知道大家是否看过电影《奥本海默》，就是电影里的这老哥，给奥本海默做实验的这个。
