有限元基础知识：线性化
接着上一次的偏导与方向导数，微分与变分，有限元基础知识：偏导、方向导数、微分与变分
这次讲一下线性化，线性化顾名思义其实其实就是一种”以直代曲“的方法，英文叫Linearization，对于非线性问题的求解极为重要。
大家上大学学高等数学的时候都学过泰勒展开，当时可能就在想“这玩意有啥用？”，那其实线性化就是一个对于复杂非线性问题的泰勒级数展开，只是这里只取其一次项进行线性近似，忽略其他高阶项。
首先我们来说一下牛顿法的基本流程，牛顿法的基本思想就是根据当前的状态求出切线矩阵，并求出残余向量，进行位移增量的求解，即：
这本质上就是一种“以直代曲”的思想去逐步迭代接近真实值，如下图所示：
那么何为切线矩阵呢？其实这里我们已经隐含了线性化的概念，现在我们看如下的一个非线性方程
这里在非线性分析中 是 的函数， 也是 的函数(如几何非线性的情况下)，这个式子非常难以求解，那么就需要我们对其进行线性化，具体做法为：
那这就是一个典型对于复杂 在 附近的泰勒展开，但我们忽略高阶项，以上公式则变为
这里为了公式简便，先暂时不考虑 随着 变化的情况，那么进一步展开上边的式子我们可以得到
而我们可以认为 , 可以认为是在初始位移向量对应的内力，那么通过移项，我们就得到了最初的Newton法的基本公式，所以这也就是经常所说的牛顿法和泰勒级数展开与线性化都有很强的关系，也就是牛顿法所谓2阶收敛性的原因，因为他近似只取到泰勒级数的一阶，误差是
这样对于材料非线性、接触非线性、几何非线性的问题我们就通过以下公式求解其切线矩阵
现在可以回想下我所常用的材料：Mises塑性2 中进行的那些应力增量的求解大家一定特别理解，因为本质上内力和应力有如下的关系
那么对于求解切线刚度矩阵的时候对于内力求导，在 不变的情况下则可以转化为
最后大家需要注意的是，这里的线性化是非线性方程求解的线性化，与应力线性化是完全不同的概念。
