结构非线性分析理论-（2）
1. 有限元方程的求解
1.1 牛顿法
是方程组的“雅可比”矩阵，通常称为刚度矩阵。现在结合方程 (2.3) 和 (2.4)，我们可以求解 Δu：
图2.1 牛顿迭代法的示意图。a表示归一化位移，λ表示荷载增量参数。增量由Δλ定义，解是平衡路径与水平线λ+Δλ的交点。
牛顿法的二次收敛速度保证了在几次迭代内收敛，这是其在几乎所有商业有限元软件中普遍实现的主要原因。快速收敛使得牛顿方法在求解大型非线性方程组时非常理想，其中每次迭代的计算成本很高。
然而，牛顿法存在一个主要缺点。一旦切线刚度达到零，该方法无法准确地跟踪“平衡”路径。这是由于牛顿法的求解公式，特别是它限制了参数 λ 在每次增量中单调变化。然后，极限点的定义（排除鞍点）表明，为了保持在平衡路径上，您需要根据极限点是 u-λ 空间中的局部最大值还是最小值来改变您的加载模式。
这个问题可以在图 2.2 中更好地概念化。
图2.2 牛顿法不能准确预测极限点后的解
就机械系统而言，该方法能够非常有效地求解任何非线性方程组，但仅限于临界点（如果有的话）。在图 2.2 所示的情况下，牛顿法在载荷控制下失败。现在，在许多情况下，一种规避此类问题的方法是使用位移控制，您可以连续增加位移 u 并仍然保持在平衡曲线上。
然而，一般而言，除了载荷控制下的突跳行为外，问题还可能在位移控制下表现出回跳行为，甚至如图 2.3 所示同时表现出这两种行为。主要问题是，在大多数实际应用中，所考虑结构的结构响应以及因此的平衡路径是未知的，因此无法知道会发生哪种类型的行为。
图2.3 (a) 载荷下不稳定的系统（突跳失稳），(b) 在位移控制下不稳定的系统（回跳失稳），(c) 在位移和荷载控制下都不稳定的系统
通常情况下，除了在载荷控制下的突跳现象外，在位移控制下可能出现回跳现象，有时甚至两种现象会同时出现，如图2.3所示。主要问题在于，在大多数实际应用中，结构响应以及相应的平衡路径都是未知的，因此无法预知会出现何种行为。一般来说，如果所研究的问题需要获取临界点/失效点之后的信息，那么牛顿法就不是一个好的选择。屈曲分析和表现出功软化的非线性材料问题就是两个无法使用牛顿法求解的典型例子。此外，有限变形问题中出现的强非线性可能最终导致这类行为，因此需要引入专门的数值技术来求解这类具有强非线性行为的问题。
