拉面条的启示

来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。

一位膀圆力大的小伙子捧起一大团软面，手握面团两端，两臂用力向外抻拉，然后两头对折，反复抻拉，如此数次，一捧又细又长的面条魔术般地出现在拉面师傅手上（图1）。看罢这精彩的拉面表演，不妨思索一个有趣的问题。

图1 拉面条

设想面团里的同一位置有两个小面粉颗粒，试问经过拉面师傅反复抻拉成了细面条以后，这两个颗粒各自落在面条的什么位置呢？再试问，稍微变动一下颗粒的初始位置，即使位置的变动极其微小，它们在面条上最终位置的变动有多大呢？这问题显然难以回答，因为多次抻拉使距离的误差不断放大，以致大到无法预计的程度。

一位研究恒星运动的法国天文学家埃农 (Hénon M.) 于1976年发现了一个数学现象，称为埃农映射问题^[1]。它的数学形式为

将 (x,y) 坐标面上的4个点P、Q、R、S 连接成四边形，4个顶点的坐标分别为：P(-1.325, 1.39)、Q(1.32, 0.45)、R(1.25, -0.41)、S(-1.05, -1.56)。

将这个四边形域记作Σ，其中任一点的坐标作为xn、yn 值代入埃农方程的右边，算出的xn 1、yn 1 再代入右边反复进行。可以观察到，Σ 内的每个点经过一次迭代后形成新的域Σ '，新域的面积缩小且折弯成马蹄形被包含在Σ内。将Σ ' 内的点再次代入方程迭代，形成的新域Σ ''被包含在Σ '内，且再次被压扁拉长在Σ ' 内折弯两次。如此继续不止，每增加一次迭代都使新域被包含在旧域内部，面积更缩小形状更细长，且来回盘旋的次数增加一倍。无限次迭代后，形成面积无限小无限细长且无限次迂回盘旋的域（图2）。可以看出，这个埃农映射与拉面条过程何等相似。Σ 域内同一位置的两个点在多次迭代以后，它们的确切位置也就无法确定。

图2 埃农映射

上述现象揭示出非线性系统对于初始条件的极端敏感性，是混沌现象的基本属性之一^[2]。1961年美国气象学家洛伦兹 (Lorenz E.) 最先注意到这个问题。气象学的研究主要依靠流体力学知识。奉牛顿力学为经典的科学家们相信，只要根据力学定律建立微分方程，给出初始条件，任何物理量的变化规律都能通过数学计算完全确定。初始条件的微小差异只会影响计算结果的误差。但是洛伦兹使用同一初始条件重复计算气候过程，长时间的计算后竟得到分道扬镳的结果（图3）。从而发现，非线性系统的初值敏感性可以使确定性问题的解出现不确定性。洛伦兹将这种初值敏感性形象化地比拟为蝴蝶效应，他的 “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在德克萨斯掀起龙卷风” 的名言已在文献中被无数次引用。翻开我国的历史文献，《汉书》中的一句格言 “失之毫厘，差以千里” 已表达了同样的意思。早在近两千年前我们的祖先已对这种现象作出了精辟的论述。

图3 洛伦兹的计算结果

参考文献：

[1] Hénon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Commn. Math. Physics, 1976, 50:69-77

[2] 朱照宣，非线性动力学中的浑沌，力学进展，1984，14(2)：129-146

（原文注：原载于《力学与实践》，2008，30(2)：107-108）